【控制】滑模控制,小例子,有程序有结果图

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目录 滑模控制的一点笔记和看法
1 【控制】滑动模型控制(Sliding Mode Control)
2 【控制】滑模控制,小例子,有程序有结果图
3 【控制】滑模控制,滑模面的选择

1 问题描述

假设存在一个被控系统如下
x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = x 3 x ˙ 3 = x 1 + x 2 x 3 + u (1) \begin{aligned} \dot{x}_1 &= x_2 \\ \dot{x}_2 &= x_3 \\ \dot{x}_3 &= x_1 + x_2 x_3 + u \\ \end{aligned} \tag{1} x˙1x˙2x˙3=x2=x3=x1+x2x3+u(1)

2 滑模控制器设计

接下来设计其滑模控制器

2.1 滑模面选择

设计滑模面为
s = x 3 + 2 x 2 + x 1 (2) s = x_3 + 2 x_2 + x_1 \tag{2} s=x3+2x2+x1(2)

2.2 控制器设计

对切换函数 s s s 求导有
s ˙ = x ˙ 3 + 2 x ˙ 2 + x ˙ 1 = x 1 + x 2 x 3 + u + 2 x 3 + x 2 = x 1 + x 2 + 2 x 3 + x 2 x 3 + u (3) \begin{aligned} \dot{s} &= \dot{x}_3 + 2 \dot{x}_2 + \dot{x}_1 \\ &= x_1 + x_2 x_3 + u + 2 x_3 + x_2 \\ &= x_1 + x_2 + 2 x_3 + x_2 x_3 + u \end{aligned} \tag{3} s˙=x˙3+2x˙2+x˙1=x1+x2x3+u+2x3+x2=x1+x2+2x3+x2x3+u(3)

取指数趋近律有
s ˙ = − sgn ( s ) − s (4) \dot{s} = -\text{sgn}(s) - s \tag{4} s˙=sgn(s)s(4)

可得控制器 u u u
s ˙ = − sgn ( s ) − s = x 1 + x 2 + 2 x 3 + x 2 x 3 + u u = − sgn ( s ) − s − x 1 − x 2 − 2 x 3 − x 2 x 3 (5) \begin{aligned} \dot{s} &= -\text{sgn}(s) - s = x_1 + x_2 + 2 x_3 + x_2 x_3 + u \\ u &= -\text{sgn}(s) - s - x_1 - x_2 - 2 x_3 - x_2 x_3 \end{aligned} \tag{5} s˙u=sgn(s)s=x1+x2+2x3+x2x3+u=sgn(s)sx1x22x3x2x3(5)

2.3 稳定性证明

取李雅普诺夫函数有
V = 1 2 s 2 (6) V = \frac{1}{2} s^2 \tag{6} V=21s2(6)

求导有
V ˙ = s s ˙ = s ( − sgn ( s ) − s ) = − sgn ( s ) s − s 2 = − ( ∣ s ∣ + s 2 ) ≤ 0 (7) \begin{aligned} \dot{V} &= s \dot{s} \\ &= s (-\text{sgn}(s) - s) \\ &= -\text{sgn}(s) s - s^2 \\ &= -(|s| + s^2) \le 0 \end{aligned} \tag{7} V˙=ss˙=s(sgn(s)s)=sgn(s)ss2=(s+s2)0(7)

因为李雅普诺夫函数的微分是负定的,那么系统渐进稳定,即 s s s 趋于0。又因为 s = x 3 + 2 x 2 + x 1 s = x_3 + 2 x_2 + x_1 s=x3+2x2+x1,因此 x 1 , x 2 , x 3 x_1, x_2, x_3 x1,x2,x3 都会趋于0。

3 实验验证

3.1 单纯滑模面控制

单纯使用滑模面的控制会出现抖振现象,这一点也可以从下图中看出。

【控制】滑模控制,小例子,有程序有结果图

clear
clc

x_1(:,1) = rand;
x_2(:,1) = rand;
x_3(:,1) = rand;

%%    
tBegin = 0;
tFinal = 20;
dT = 0.1;
times = (tFinal - tBegin) / dT;
t(1,1) = tBegin;

for k = 1:times
    % record time
    t(:,k+1) = t(:,k) + dT;
    
    % slide model plane
    s = x_3(:,k) + 2*x_2(:,k) + x_1(:,k);
    
    % control input
    u = -sign(s)-s-x_1(:,k)-x_2(:,k)-2*x_3(:,k)-x_2(:,k)*x_3(:,k);
    
    % update states
    dot_x_3 = x_1(:,k) + x_2(:,k) * x_3(:,k) + u;
    x_3(:,k+1) = x_3(:,k) + dT * (x_1(:,k) + x_2(:,k) * x_3(:,k) + u);
    dot_x_2 = x_3(:,k+1);
    x_2(:,k+1) = x_2(:,k) + dT * dot_x_2;
    dot_x_1 = x_2(:,k+1);
    x_1(:,k+1) = x_1(:,k) + dT * dot_x_1;
end

%%
plot(t,x_1, t,x_2, t,x_3, 'linewidth',1.5);
legend('$x_1$', '$x_2$', '$x_3$', 'interpreter','latex');
grid on;

3.2 饱和函数替换符号函数

为了防止抖振,可以采用饱和函数 sat(s) 代替控制器中的符号函数sgn(s)。
在Matlab中没有相应的函数,因此我们写了个子函数来自己构建饱和函数,这一点可以在下边的代码里看到。

【控制】滑模控制,小例子,有程序有结果图文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-419475.html

clear
clc

x_1(:,1) = rand;
x_2(:,1) = rand;
x_3(:,1) = rand;

%%    
tBegin = 0;
tFinal = 20;
dT = 0.1;
times = (tFinal - tBegin) / dT;
t(1,1) = tBegin;

for k = 1:times
    % record time
    t(:,k+1) = t(:,k) + dT;
    
    % slide model plane
    s = x_3(:,k) + 2*x_2(:,k) + x_1(:,k);
    
    % control input
    u = -sat(s)-s-x_1(:,k)-x_2(:,k)-2*x_3(:,k)-x_2(:,k)*x_3(:,k);
    
    % update states
    dot_x_3 = x_1(:,k) + x_2(:,k) * x_3(:,k) + u;
    x_3(:,k+1) = x_3(:,k) + dT * (x_1(:,k) + x_2(:,k) * x_3(:,k) + u);
    dot_x_2 = x_3(:,k+1);
    x_2(:,k+1) = x_2(:,k) + dT * dot_x_2;
    dot_x_1 = x_2(:,k+1);
    x_1(:,k+1) = x_1(:,k) + dT * dot_x_1;
end

%%
plot(t,x_1, t,x_2, t,x_3, 'linewidth',1.5);
legend('$x_1$', '$x_2$', '$x_3$', 'interpreter','latex');
grid on;

%% 
function out = sat(s)
    sMax = 10;
    sMin = -10;
    out = s;
    if s > sMax
        out = sMax;
    end
    if s < sMin
        out = sMin;
    end  
end

Ref.

  1. 基于准滑动模态的滑模控制实例(采用饱和函数sat(s)代替符号函数)

到了这里,关于【控制】滑模控制,小例子,有程序有结果图的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

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