一、什么是质数筛
质数筛也叫素数筛，是求1到n之内素数的优化算法，质数筛有两种，埃氏筛和欧拉筛。
埃氏筛的时间复杂度接近O(n*logn)，而欧拉筛可以把复杂度降低到O(n)，下面看两种算法的到底是如何一步步优化的吧
二、暴力枚举
暴力法求解复杂度O(n)* n \sqrt{n} n，是新手必学的算法，能解决小数据的素数判断
1、暴力枚举基本思想：
从1到n枚举每一个数，判断每个数是不是素数。质数的定义就是只能被1和自身整除的数字，例如2、3、5、7、11、13…等等，对于每一个数，我们只需要判断这个定义即可
2、模板代码
#include<iostream>
#include<cmath>//需要用到sqrt()函数
using namespace std;
//判断素数
bool prime(int val){
// 1-3的值需要特判，因为我们循环判断只判断到sqrt(val)，1-3是判断不了的
if(val==1)return 0;
if(val==2||val==3)return 1;
// 为什么只要判断到sqrt(val)？
// 例如一个数8，它的因数有1、2、4、8，可以发现1<2<sqrt(8)<4<8
// 所以我们只要判断小于sqrt(8)的数就可以了,因为因数都是成对出现的
for(int i=2;i<=sqrt(val);i++){
// 如果被整除了,那么该数一定不是素数,返回0
if(val%i==0)return 0;
}
// 如果是素数就返回1
return 1;
}
int main(){
int n;
cin>>n;
for(int i=2;i<=n;i++){
// 如果返回值是1,那么该数是素数,输出即可
if(prime(i)==1){
cout<<i<<' ';
}
}
}
3、运行结果
输入：
100
输出：
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
三、埃氏筛
埃氏筛复杂度接近O(n)* log n \log n logn，是比较容易理解、容易学习的算法
1、埃氏筛基本思想：
如果一个数是素数，那么它的倍数就不是素数。
例如：
2是素数，那么4、6、8、10、12…都不是素数
3是素数，那么6、9、12、15、18…都不是素数
4不是素数，在2的时候已经知道4不是素数了，我们不必重复说明8、12、16…等等不是素数，因为这些数在2的时候已经可以证明它们不是素数了
5没有被2、3、4标记为它不是素数，那么就说明5不能被2、3、4整除，哪么就说明5是素数
6被在3的时候被标记为不是素数了，直接跳过
7和5一样，没有被2、3、4、5、6标记为不是素数，那么7就是素数，而14、21、28…都不是素数
…
以上就是埃氏筛的基本思想，我们模拟上面的过程即可快速求出1到n所有的素数
2、模板代码
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
// f[i]=1代表i不是素数，f[i]=0代表i是素数
int f[100010]={1,1};
int n;
cin>>n;
// 埃氏筛
for(int i=2;i<=n;i++){
if(f[i]==1)continue;
for(int j=2;i*j<=n;j++){
f[i*j]=1;
}
}
// 打印
for(int i=0;i<=n;i++){
if(f[i]==0){
cout<<i<<' ';
}
}
}
3、运行结果
输入：
100
输出：
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
四、欧拉筛
欧拉筛又叫线性筛，可以把问题时间复杂度优化到O(n)。是求范围内素数最好用的算法
1、对比埃氏筛
埃氏筛的复杂度为什么达不到O(n)呢？因为它在标记不是素数的时候存在大量的重复操作。
例如：
12，它在2、3的时候都被标记了1次
30，它在2、3、5的时候都被标记了1次
欧拉筛的巧妙之处在于它能去掉重复的标记
2、欧拉筛的基本思想
保证每个数只被除1以外最小的质因数标记
例如：
12，它有质因数2、3，那么它只被2标记
15，它有质因数3、5，那么它只被3标记
30，它有质因数2、3、5，那么它只被2标记
实现：
(1) 需要用一个数组 p[n] 把找到的素数存下来
(2) 我们需要逆向思考，从最大的因数找到最小的质因数，例如12，我们通过6，找到质因子2，即当我们处理6的时候需要把12给标记为不是素数
(3)处理一个数时我们遍历每一个已经有的质数，当该质数是该数的因数是退出，因为对于后面的数来说，该数不是最大的因数了！这一步是有点难理解的，慢慢来，多推敲几遍
第三点理解：
例如当前的数是9，那么此时已经找出了质数2、3、5、7
遍历这些质数，那么9*2=18不是质数，9*3=27不是质数，9*5=45不是质数，9*7=63也不是质数，但实际上我们在更新完 27 之后就应该退出了，而不去更新45和63。
因为9并不是45的最大因数，15才是，即这个数在处理15的时候会被标记的，如果现在标记就会出现无用的标记了。
63也是一样的道理，它的最大因数是21，即这个数在处理21的时候会被标记。
为什么处理9的时候，3之后的5、7，最大的因数都不是9？而3和3之前最大因数都是9呢？
我们可以把3当作桥梁，因为3是9的因数，遍历5、7时，9*5可拆分为3*3*5=3*15，9*7可拆分为3*3*7=3*21，而2、3都是不可分的，2*9、3*9，最大的因数就是9，它们的数值应该在此时更新为不是素数
3、模板代码
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
int d=0;
int p[100010]={0};
int f[100010]={1,1};
int n;
cin>>n;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(f[i]==0){//如果没被标记过，那么i是质数
p[d++]=i;
}
for(int j=0;j<d;j++){
if(p[j]*i<=n){//标记以i为最大因数的数为不是素数（除了1和本身）
f[p[j]*i]=1;
}else{
break;
}
if(i%p[j]==0){//如果p[j]是i的因数，那么后面的数都不是以i为最大因数的
break;
}
}
}
for(int i=0;i<d;i++){//打印1到n的质数
cout<<p[i]<<' ';
}
}
3、运行结果
输入：
100
输出：
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
五、总结
埃氏筛的实现原理是比较简单的，使用的场景也比较广泛，但在个别的竞赛题中会卡这点时间，必须使用欧拉筛。
欧拉筛理解的过程是有点难的，但在真正理解之后思路会非常清晰，看不懂就多看两遍文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-420123.html
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