文心一言 VS chatgpt (11)-- 算法导论2.3 7题 3.1 4~5题

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四、2 ^ (n+1)=O(2 ^ n)成立吗? 2^(2n)=O(2 ^ n)成立吗?

文心一言:
文心一言 VS chatgpt (11)-- 算法导论2.3 7题 3.1 4~5题

chatgpt:

第一个式子不成立,第二个式子成立。

  1. 2 ^ (n+1) = O(2 ^ n)

该式不成立。按照大O符号的定义,如果存在正常数c和n0,使得n>n0时,2(n+1)<=c*2n,则该式成立。但实际上,没有任何正常数c和n0满足该条件。因为当n趋近无穷大时,2(n+1)与2n的比值趋近于2,即2^(n+1) = 2 * 2^n。这与大O符号的定义矛盾。

  1. 2 ^ (2n) = O(2 ^ n)

该式成立。按照大O符号的定义,如果存在正常数c和n0,使得n>n0时,2(2n)<=c*2n,则该式成立。此时可以取c=1,n0=1。因为当n趋近无穷大时,2(2n)与2n的比值趋近于无穷小,即2^(2n) = (2n)2。这也符合大O符号的定义。

综上所述,第一个式子不成立,第二个式子成立。

文心一言 VS chatgpt (11)-- 算法导论2.3 7题 3.1 4~5题

文心一言和chatgpt的结果都是错误的。实际上是第一个式子成立,第二个式子不成立。

五、证明定理 3.1。定理 3.1是:对任意两个函数 f(n)和g(n),我们有 f(n)=θ(g(n)),当且仅当f(n)=O(g(n)且f(n)=Ω(g(n))。

文心一言:

文心一言 VS chatgpt (11)-- 算法导论2.3 7题 3.1 4~5题

chatgpt:

定理 3.1的证明可以分为两个部分:充分性和必要性。

首先证明充分性,即如果f(n)=O(g(n))且f(n)=Ω(g(n)),则有f(n)=θ(g(n))。根据大O符号的定义,存在正数c和n0,使得当n≥n0时,有f(n)≤c*g(n)。同样地,根据Ω符号的定义,存在正数c’和n0’,使得当n≥n0’时,有f(n)≥c’*g(n)。因此,当n≥max(n0,n0’)时,我们有:

c’g(n) ≤ f(n) ≤ cg(n)

这表明f(n)和g(n)之间的比值是有界的,即存在正常数c1和c2,使得c1g(n)≤f(n)≤c2g(n),因此f(n)=θ(g(n))。

接下来证明必要性,即如果f(n)=θ(g(n)),则有f(n)=O(g(n))且f(n)=Ω(g(n))。根据大O符号的定义,存在正数c1和n1,使得当n≥n1时,有f(n)≤c1g(n)。根据θ符号的定义,还存在另外一对正数c2和n2,使得当n≥n2时,有f(n)≥c2g(n)。因此,当n≥max(n1,n2)时,我们有:

c2g(n) ≤ f(n) ≤ c1g(n)

这表明f(n)和g(n)之间的比值是有界的,即存在正常数c和n0,使得当n≥n0时,有f(n)≤c*g(n),因此f(n)=O(g(n))。同样地,我们也可以找到一对正数c’和n0’,使得当n≥n0’时,有f(n)≥c’*g(n),因此f(n)=Ω(g(n))。

因此,定理3.1得证。

文心一言 VS chatgpt (11)-- 算法导论2.3 7题 3.1 4~5题
真正证明如下:

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