伽罗华域GF,GF(256)来源

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参考blog:
密码学中的数学基础2
信道编码系列三

1. 域

是一种定义了域中元素两种数学运算的代数系统,域由全体元素的加法集合以及非零元素的乘法集合构成

性质:在加法和乘法上具有封闭性。
  对域中元素进行加法或乘法运算后的结果仍然是域中元素。
  
PS:  域里面的乘法和加法可以是C语言中的与运算(module-2加法)和异或运算分别定义成加法和乘法。但习惯上,仍然使用符号+ 和 * 表示加法和乘法运算。

2. 域中单位元和逆元

  加法和乘法运算都有对应的单位元(这两个单位元一般不同,但都用符号e表示):对于加法单位元,所有元素加上单位元e,等于其本身;对应乘法单位元,所有元素乘上单位e,等于其本身。

如果元素a在域中找不到另外一个元素b,使得a+b=e(a*b=e),那么a就没有加法(乘法)逆元。
PS: 0元素没有对应的乘法逆元

3. 有限域GF ( p ) (p) (p)

  考虑这样一组整组构成的域 G = { 0 , 1 , 2 , 3 , … . . p − 1 } G = \{0, 1,2,3,….. p-1\} G={0,1,2,3,..p1}。其中p为素数,定义两种数学运算分别为 modulo-p加法和 module-p乘法。以p=7为例,加法和乘法分别为:

0 1 2 3 4 5 6
0 0 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6 0
2 2 3 4 5 6 0 1
3 3 4 5 6 0 1 2
4 4 5 6 0 1 2 3
5 5 6 0 1 2 3 4
6 6 0 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 1 3 5
3 3 6 2 5 1 4
4 4 1 5 2 6 3
5 5 3 1 6 4 2
6 6 5 4 3 2 1

  为满足乘法的封闭性,显然p只能为素数。集合中元素个数为p。

性质(定理一): 如果 α \alpha α 是有限域GF ( p ) (p) (p) 中的非零元素,那么有 α p − 1 = 1 \alpha^{p-1}=1 αp1=1

证明:设 b 1 , b 2 , … , b q − 1 b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{q-1} b1,b2,,bq1为GF ( p ) (p) (p)中的p-1个非零元素,由于a也是非零元素,那么 a ⋅ b 1 , a ⋅ b 2 , … , a ⋅ b p − 1 a \cdot b_{1}, a \cdot b_{2}, \ldots, a \cdot b_{p-1} ab1,ab2,,abp1也是非零元素。
1)由p-1个元素的互异性得:
( a ⋅ b 1 ) ⋅ ( a ⋅ b 2 ) ⋯ ⋯ ( a ⋅ b q − 1 ) = b 1 ⋅ b 2 ⋯ ⋯ b q − 1 \left(a \cdot b_{1}\right) \cdot\left(a \cdot b_{2}\right) \cdots \cdots\left(a \cdot b_{q-1}\right)=b_{1} \cdot b_{2} \cdots \cdots b_{q-1} (ab1)(ab2)⋯⋯(abq1)=b1b2⋯⋯bq1
2)由乘法交换律得:
a q − 1 ( b 1 ⋅ b 2 ⋯ b q − 1 ) = b 1 ⋅ b 2 ⋯ ⋯ b q − 1 a^{q-1}\left(b_{1} \cdot b_{2} \cdots b_{q-1}\right)=b_{1} \cdot b_{2} \cdots \cdots b_{q-1} aq1(b1b2bq1)=b1b2⋯⋯bq1

4. 有限域GF ( 2 p ) (2^p) (2p)

  将多项式的系数限定于有限域GF ( p ) (p) (p)中的元素,并且基于有限域中的运算规则重新定义多项式的加减乘除操作,那么这样的多项式集合称为 基于有限域的多项式
  将GF ( p ) (p) (p)扩展成GF ( 2 p ) (2^p) (2p),p不再仅限于素数,但仍然满足有限域的加法和乘法规则的思想:将有限域中的数值元素用多项式元素映射,即有限域GF ( 2 p ) (2^p) (2p)中的元素是包含0、1在内的 ( 2 p ) (2^p) (2p)个多项式。

以GF ( 2 3 ) (2^3) (23)为例,指数小于 3 的多项式共 8 个: 0 , 1 , x , x + 1 , x 2 , x 2 + 1 , x 2 + x , x 2 + x + 1 0 , 1 , x , x+1 , x^2 , x^2+1 , x^2+x , x^2+x+1 01xx+1x2x2+1x2+xx2+x+1 。其系数刚好就是 000 , 001 , 010 , 011 , 100 , 101 , 110 , 111 000,001,010,011,100,101,110,111 000,001,010,011,100,101,110,111 ,是0 到7这8个数的二进制形式。多项式对应一个值,称这个值为多项式值。

4.1 有限域GF ( 2 p ) (2^p) (2p)的生成

  生成元是域上的一类特殊元素,生成元的幂可以遍历域上的所有元素。假设g是域GF ( 2 p ) (2^p) (2p)上生成元,那么集合 { g 0 , g 1 , … … , g ( 2 p − 1 ) } \{g^0 ,g^1 , ……,g^{(2^p-1)} \} {g0g1……g(2p1)} 包含了域GF(2^p)上所有非零元素。

所以生成步骤为:

  1. 查表或手动计算得到p对应的本原多项式
  2. 本原多项式求幂得到 2 p − 2 2^p-2 2p2个多项式
  3. 添加0、1形成域

4.2 GF ( 2 p ) (2^p) (2p)中的计算

加法和减法:

  • 加法即异或运算
  • 减法即加法

乘法和除法:

  • 伽罗华域上的多项式乘法,其结果需要mod P(x)

实际实现中利用查表法解决,将二进制形式和多项式形式相互映射。每一个二进制数值对应的是本原多项式的多少次幂。

5.【GF域的具现化】

本原多项式 p ( x ) = x 3 + x + 1 p(x)=x^{3}+x+1 p(x)=x3+x+1,
(1) 计算其本原根 α \alpha α 的复数值
伽罗华域GF,GF(256)来源
即本原多项式中 α = 0.3412 + 1.1615 i \alpha = 0.3412+1.1615i α=0.3412+1.1615i
(2) 计算GF ( 2 3 ) \left(2^{3}\right) (23) 内各个元素的复数值

GF ( 2 3 ) \left(2^{3}\right) (23)的多项式共 8 个: 0,1,x,x+1,x2,x2+1,x2+x,x2+x+10 , 1 , x , x+1 , x^2 , x^2+1 , x^2+x , x^2+x+1 。
其系数是 000,001,010,011,100,101,110,111000,001,010,011,100,101,110,111 ,是 0到 7的二进制形式。

下表给出了从本原根数值映射到多项式的过程

本原根 复数值 映射为多项式 多项式mod2
0 0
α 0 α^0 α0 1 α 0 α^0 α0 α 0 α^0 α0
α 1 α^1 α1 α = 0.3412 + 1.1615 i \alpha = 0.3412+1.1615i α=0.3412+1.1615i α 1 α^1 α1 α 1 α^1 α1
α 2 α^2 α2 -1.2328 + 0.7926i α 2 α^2 α2 α 2 α^2 α2
α 3 α^3 α3 -1.3412 - 1.1615i -α-1 α+1
α 4 α^4 α4 0.8916 - 1.9541i − α 2 − α -α^2-α α2α α 2 + α α^2+α α2+α
α 5 α^5 α5 2.5739 + 0.3690i − α 2 − α + 1 -α^2-α+1 α2α+1 α 2 + α + 1 α^2+α+1 α2+α+1
α 6 α^6 α6 0.4495 + 3.1156i α 2 + 2 ∗ α + 1 α^2+2*α+1 α2+2α+1 α 2 + 1 α^2+1 α2+1
α 7 α^7 α7 -3.4656 + 1.5851i 2 ∗ α 2 − 1 2*α^2-1 2α21 1

伽罗华域GF,GF(256)来源

(3) 验证域GF ( 2 3 ) \left(2^{3}\right) (23)满足加法交换群和乘法交换群性质
参考1,c实现
参考2,python实现文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-422194.html

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