2.1 矩阵的概念
元素全为实数的矩阵称为实矩阵
元素全为负数的矩阵称为复矩阵
只有一行（列）的矩阵称为行（列）矩阵
元素全为零的矩阵称为零矩阵
行数和列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵
主对角线元素全为1，其余元素全为0的矩阵称为单位矩阵，记作E或I
两个矩阵行数和列数对应相等的矩阵称为同型矩阵
2.2 矩阵的运算
2.2.1 矩阵的加（减）法
对应元素相加（减）所得到的矩阵（前提是同型矩阵）
满足的运算法则：
（1）交换律：
（2）结合律：
（3）
（4）
（5）移项规则：
2.2.2 矩阵的数乘
数乘：将数乘到矩阵的个元素上
矩阵提供因子：矩阵所有元素均有公因子，公因子外提一次
满足的运算法则：
（1）
（2）
（3）
2.2.3 矩阵的乘法和方阵的幂
1.矩阵的乘法
矩阵相乘前提条件：第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数
结果矩阵的形状：结果矩阵行数等于第一个矩阵的行数，结果矩阵列数等于第二个矩阵的列数
宋氏七字口诀：中间相等取两头
注：1）,AB有意义，BA不一定有意义（若AB=BA，则AB可交换）
2）AB表示A左乘B，B右乘A
3）AB=0推不出来A=0 or B=0
4）AB=AC，A0推不出来B=C
与E相乘：AE=A，EB=B
矩阵乘法满则的运算规则：
（1）结合律：(AB)C=A(BC)
（2）分配律：(A+B)C=AC+BC C(AB)=CA+CB
（3）k(AB)=(kA)B=A(kB)
2.方阵的幂
,A的k次幂，
方阵的幂的性质：
1）
2）
其中，为非负整数
注意：
其中，A为方阵
2.2.4 矩阵的转置
将矩阵A的各行一次变为列后得到的矩阵，称为A的转置矩阵，即
转置矩阵的性质：
1）
2）
3）
4）
2.3 几种特殊的矩阵
2.3.1 数量矩阵
主对角线上元素全部相等，其他与元素全为零的矩阵称为数量矩阵
2.3.2 对角形矩阵
主对角线上元素为任意数，而其他元素全为零的矩阵称为对角形矩阵
2.3.3 三角形矩阵
上三角形矩阵：主对角线上方的元素都是零的矩阵
下三角形矩阵：主对角线上方的元素都是零的矩阵
2.3.4 对称矩阵与反对称矩阵
对称矩阵
定义：以主对角线为轴，对应元素相等的矩阵
性质：
两个同阶对称矩阵的和、差、数乘仍为对称矩阵，但其乘积一般不再是对称矩阵
定理：设A与B为两个同阶对称矩阵，则乘积AB仍为对称矩阵的充分必要条件是A与B可交换
反对称矩阵
定义：以主对角线为轴，对应元素成相反数的矩阵（注：反对称矩阵主对角线全为0，对称矩阵没有要求）
性质：
2.4 逆矩阵
注：不要把矩阵放在分母上
2.4.1 方阵的行列式与伴随矩阵
方阵的行列式：设n阶方阵A，用其所有元素按原来位置排列所称的n阶行列式称为方阵A的行列式。记作｜A｜或detA
性质：
1）
2）
3）,AB同阶
伴随矩阵：
只有方阵才有伴随矩阵
伴随矩阵的定义：
1）求所有元素的代数余子式
2）按行求的代数余子式按列放，构成的矩阵就是伴随矩阵，记作
按行求按列放
定理：对任意方阵A，有
推论：若n阶方阵A满足，则
2.4.2 逆矩阵
定义：设A是n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称B是A的逆矩阵，记作,并称A为可逆矩阵。
逆矩阵满足三个基本事实：
1）未必任何方阵都有逆矩阵
2）一个方阵若有逆矩阵，则逆矩阵唯一
3）若A可逆，则
定义：若方阵A的行列式，则称A为非奇异（非退化或满秩）矩阵；否则，则称A为奇异（退化或降秩）矩阵。
定理：A可逆的充要条件，
推论：设A为n阶方阵，B为n阶方阵，使得AB=E或BA=E，则A可逆，且
求逆矩阵的方法：
1）伴随矩阵法
2）初等变换法
2.4.3 逆矩阵的性质
1）A可逆，可逆，
2）A、B均可逆，AB可逆，
3）A可逆，可逆，,
4）A可逆，
5）A可逆，可逆，
2.5 分块矩阵
2.5.1 分块矩阵的概念
灵活分，要求：横线竖线一气到头
标准形矩阵
从左上角开始的一串1（不断） ，标准形不一定是方阵
2.5.2 分块矩阵的运算
1）分块矩阵的加法
2）分块矩阵的数乘
3）分块矩阵的乘法
4）分块矩阵的转置：1.把子块视作普通元素求转置2.对每个子块求转置
2.6 矩阵的初等变换
2.6.1 矩阵的初等变换
1）交换矩阵的两行（列）
2）用数乘以矩阵的某一行（列）
3）谋行（列）的l被加到另一行（列）上
定理：任何矩阵都可以经过初等变换化为标准形矩阵
定义：若矩阵A可经过初等变换为矩阵B，则称A与B等价，记作
等价关系的性质
1）反身性：对任何矩阵A，都有
2）对称性：若，则
3）传递性：若，，则
推论：任何矩阵A都与标准形矩阵等价
2.6.2 初等方阵
定义：对单位矩阵E施行一次初等变换所得到的矩阵称为初等方阵
三种初等方阵：
1）
2）
3）
初等方阵均可逆，其逆矩阵也是初等方阵，初等方阵的转置矩阵也是初等方阵
定理：设A是任意一个矩阵，则用第i种初等方阵左（右）乘A，相当于对A施行第i种初等行（列）变换（i=1,2,3）
推论：A、B等价存在可逆矩阵P、Q，使得PAQ=B
2.6.3 矩阵可逆的两个充分必要条件
1）方阵A可逆的充分必要条件是A的标准形矩阵为E
2）方阵A可逆的充分必要条件是A可表示为若干初等方阵的乘积
2.6.4 初等变换法求逆矩阵
设A可逆，可逆，
设，
,用若干初等方阵左乘A，可以得到单位矩阵E
，用与以上相同的初等方阵左乘E，可得到
以上方法称为：初等行变换法
注意：1）先第一列，再第二列，再第三列
2）写整行，对整行进行操作
3）第一行处理好后，不再主动参与变换
2.7 矩阵的秩
2.7.1 矩阵的秩
k阶子式：设A是mxn矩阵，从A中任取k行和k列，位于这些行、列相交处的元素按原来位置所构成的行列式称为A的一个k阶子式
非零子式的最高阶数就是矩阵的秩
零矩阵的秩为0
矩阵的秩r等于矩阵的行，则称行满秩矩阵
矩阵的秩r等于矩阵的列，则称行列秩矩阵
A为方阵，A为满秩矩阵A为可逆矩阵
定理：矩阵A的秩为r的充分必要条件是A有一个r阶子式不等于零，而所有r+1阶子式都等于零
阶梯形矩阵：
1）若有零行，零行在非零行的下边
2）自上而下，左起首非零元素左边零的个数随行数增加而严格增加
判断阶梯形矩阵的折线法：
横线可跨多个数，折线只跨一个数
行简化阶梯型：
1）非零行的首非零元是1
2）首非零元所在列的其余元素都是0
宋氏判断三步走：
1）折线判断阶梯形
2）圆圈画出首非零元
3）首非零元画竖的虚线，只有1其余0
阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数
初等（行列）变换不改变矩阵的秩
2.7.2 求矩阵的秩的方法
两种方法：
1）将矩阵A利用初等行、列变换化为标准矩阵D，则A的秩等于D中1的个数
2）将矩阵A利用初等行变换化为阶梯形矩阵B，则A的秩等于B中非零行的行数
2.7.3 矩阵的秩的性质
1）
2）任何矩阵乘以可逆矩阵后，其秩不变
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