【矩阵论】7. 范数理论——基本概念——向量范数与矩阵范数

矩阵论的所有文章，主要内容参考北航赵迪老师的课件

[注]由于矩阵论对计算机比较重要，所以选修了这门课，但不是专业搞数学的，所以存在很多口语化描述，而且对很多东西理解不是很正确与透彻，欢迎大家指正。我可能间歇性忙，但有空一定会回复修改的。

矩阵论
1. 准备知识——复数域上矩阵,Hermite变换
1.准备知识——复数域上的内积域正交阵
1.准备知识——Hermite阵，二次型，矩阵合同，正定阵，幂0阵，幂等阵，矩阵的秩
2. 矩阵分解——SVD准备知识——奇异值
2. 矩阵分解——SVD
2. 矩阵分解——QR分解
2. 矩阵分解——正定阵分解
2. 矩阵分解——单阵谱分解
2. 矩阵分解——正规分解——正规阵
2. 矩阵分解——正规谱分解
2. 矩阵分解——高低分解
3. 矩阵函数——常见解析函数
3. 矩阵函数——谱公式,幂0与泰勒计算矩阵函数
3. 矩阵函数——矩阵函数求导
4. 矩阵运算——观察法求矩阵特征值特征向量
4. 矩阵运算——张量积
4. 矩阵运算——矩阵拉直
4.矩阵运算——广义逆——加号逆定义性质与特殊矩阵的加号逆
4. 矩阵运算——广义逆——加号逆的计算
4. 矩阵运算——广义逆——加号逆应用
4. 矩阵运算——广义逆——减号逆
5. 线性空间与线性变换——线性空间
5. 线性空间与线性变换——生成子空间
5. 线性空间与线性变换——线性映射与自然基分解,线性变换
6. 正规方程与矩阵方程求解
7. 范数理论——基本概念——向量范数与矩阵范数
7.范数理论——基本概念——矩阵范数生成向量范数&谱范不等式
7. 矩阵理论——算子范数
7.范数理论——范数估计——许尔估计&谱估计
7. 范数理论——非负/正矩阵
8. 常用矩阵总结——秩1矩阵，优阵(单位正交阵)，Hermite阵
8. 常用矩阵总结——镜面阵，正定阵
8. 常用矩阵总结——单阵，正规阵，幂0阵，幂等阵，循环阵

7.1 基本概念

7.1.1 向量范数

a. 模长（二范数）

C n 中向量 X = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) 的模长为 ∣ X ∣ = ( X , X ) = t r ( A H A ) = ∣ x 1 ∣ 2 + ∣ x 2 ∣ 2 + ⋯ + ∣ x n ∣ 2 C^n中向量 X=\left( \begin{matrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{matrix} \right)的模长为 \vert X\vert=\sqrt{(X,X)}=\sqrt{tr(A^HA)} =\sqrt{\vert x_1\vert^2+\vert x_2\vert^2+\cdots+\vert x_n\vert^2 } Cn中向量X= ​x1​x2​⋮xn​​ ​的模长为∣X∣=(X,X) ​=tr(AHA) ​=∣x1​∣2+∣x2​∣2+⋯+∣xn​∣2 ​

• 正性：$|X|>0$

• 齐性：$|kX|=|k||X|$

  $|-x|=|x|$

• 三角性：$|x+y|\le |x|+|y|$

  $\left||x|-|y|\right|\le |x-y|$

内积空间引入模长

任一内积空间W都可引入向量z长度(模长) $|\alpha |=\sqrt{(\alpha ,\alpha )},\alpha \in W$

满足柯西-施瓦茨不等式 $|\alpha +\beta |\le \sqrt{(\alpha ,\alpha )}\sqrt{(\beta ,\beta )}=|\alpha ||\beta |$

• 三角性：$|\alpha +\beta |\le |\alpha |+|\beta |$
• 正性
• 齐性

二维空间引入模长范数

令矩阵空间 $V=C^{m,n}$ ，$A=(a_{ij})，B=(b_{ij})\in C^{m,n}$ ，
$$(A,B)=B^{H}A=tr(B^{H}A)=tr(A^{H}B)=\sum (|a_{ij}|\overline{|b_{ij}|})$$
规定 $\Vert A\Vert =\sqrt{(A,A)}=\sqrt{tr(A^{H}A)}=\sqrt{tr(A{A}^H)}=\sqrt{\sum |a_{ij}{|}^2}$ 为A的F范数

b. 向量范数定义

设 $V$ 是数域 $F$ (实数域或复数域) 上的线性空间，若对于任一 $X\in V$ ，对应一个非负数，记为 $\Vert X\Vert$ 满足以下三个条件，则称 $\Vert X\Vert$ 为空间 V 上的一个向量范数

• 正性：$\Vert X\Vert >0$
• 齐次性： $\Vert kX\Vert =|k|\Vert X\Vert$
• 三角不等式：$\Vert X+Y\Vert \le \Vert X\Vert +\Vert Y\Vert$

相当于规定在空间V上的一个非负函数 $\phi (x)=\Vert x\Vert ,x\in V$ ，满足正性，齐性，三角性

可知 $C^n$ 上有很多(无穷) 个范数

范数定义2：若线性空间 $V$ 上有一个函数 $\phi (x),x\in V$ 适合

• 正性：$\phi (x)>0,x\ne 0$
• 齐性：$\phi (kx)=|k|\phi (x),x\in V$
• 三角形：$\phi (x+y)\le \phi (x)+\phi (y)$

则称 $\phi (x)$ 为 $V$ 上的一个范数，记为 $\phi (x)=\Vert x\Vert$

eg：

验证给定函数是否为范数

$$\begin{array}{rl}& \because A>0,则由平方根公式A=B^2=B^{H}B\Rightarrow X^{H}AX=X^H{B}^{H}BX=|BX{|}^2\\ & \Rightarrow \Vert x\Vert =\sqrt{|BX{|}^2}=\Vert BX{\Vert }_2>0,且满足齐性\\ & \Vert x+y\Vert =\Vert B(x+y){\Vert }_2=\Vert Bx+By{\Vert }_2\le \Vert Bx{\Vert }_2+\Vert By{\Vert }_2=\Vert x\Vert +\Vert y\Vert ,满足三角性\end{array}$$

c. 复向量空间中常用范数

1-范数：$\Vert x{\Vert }_1=\sum (|x_1|+\cdots +|x_n|)$

2-范数：$\Vert x{\Vert }_2=\sqrt{(x,x)}=\sqrt{|x_1{|}^2+\cdots +|x_n{|}^2}$

$\infty$-范数： ∥ x ∥ ∞ = m a x { ∣ x 1 ∣ , ⋯   , ∣ x n ∣ } \Vert x\Vert_{\infty}=max\{\vert x_1\vert,\cdots,\vert x_n\vert\} ∥x∥∞​=max{∣x1​∣,⋯,∣xn​∣}

p-范数：$\Vert x{\Vert }_p={\left(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p\right)}^{\frac{1}{p}},p\ge 1$

d. 向量范数性质

单位化公式：$X\ne 0$ ，则 $\frac{X}{\Vert X\Vert }$ 是范数为1的向量

$\Vert -X\Vert =\Vert X\Vert$

$\Vert X-Y\Vert \ge |\Vert X\Vert -\Vert Y\Vert |$

e. 有限维线性空间上范数等价性

对于 $C^n$ 上任两个范数 $\Vert X{\Vert }_a$ ，$\Vert X{\Vert }_b$ 存在正数：$k_1>0,k_2>0$ ，使 $k_1\Vert X{\Vert }_b<\Vert X{\Vert }_a<k_2\Vert X{|}_b$ 对一切x成立，即 $k_1\le \frac{\Vert X{\Vert }_a}{\Vert X{\Vert }_b}\le k_2$ ，对一切X成立

证明

f. 范数收敛定理

收敛定义

设 $C^n$ 中向量序列：$X^{(k)}=\left(X_1^{(k)},X_2^{(k)},\cdots ,,X_n^{(k)}\right)$ ($k=1,2,\cdots$) ，$\alpha ={\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)}^T$ ，若 $X_1^{(k)}\to {\alpha }_1$ ，$X_2^{(k)}\to {\alpha }_2$ ,$\cdots$ ，$X_n^{(k)}\to {\alpha }_n$ （$k\to \infty$），则称 $X^{(k)}\to \alpha$ ，或 $\lim X^{(k)}=\alpha$
$$X^{(k)}\to \alpha ⟺\Vert X^{(k)}-\alpha \Vert \to 0$$

按范数收敛

设 $X_1,\cdots ,X_m,\cdots$ 是线性空间V中的元素序列，若 $X_0\in V$ ，使 $\underset{m\to \infty }{\lim }\Vert X_m-X_0{\Vert }_{\alpha }=0$ ，称序列 { X m } \{X_m\} {Xm​} 按范数 $\Vert \bullet {\Vert }_{\alpha }$ 收敛于 $X_0$ ，记为 $\underset{m\to \infty }{\lim }{X}_m\stackrel{\alpha }{}{X}_0$

• 若序列 { X m } \{X_m \} {Xm​} 按某一范数收敛于 $X_0$ ，则 { X m } \{X_m\} {Xm​} 按任何范数都收敛于 $X_0$ ，即有限维空间按范数收敛是互相等价的

  

• 序列 { X m } \{X_m\} {Xm​} 按范数收敛于 $X_0$ $⟺$ 按坐标收敛于 $X_0$
  取一组基底 e 1 , e 2 , ⋯   , e n ，令 X m = ξ 1 ( m ) e 1 + ⋯ + ξ n ( m ) e n , X 0 = ξ 1 ( 0 ) e 1 + ⋯ + ξ n ( 0 ) e n 由二范数定义 , ∀ x = ( ξ 1 ξ 2 ⋮ ξ n ) ∈ C n , ∥ X ∥ 2 = ( ∑ i = 1 n ∣ ξ i ∣ 2 ) 1 2 按范数收敛是等价的， ∴ lim ⁡ m → ∞ ∥ X m − X 0 ∥ = 0    ⟺    lim ⁡ m → ∞ ∥ X m − X 0 ∥ 2 = 0    ⟺    lim ⁡ m → ∞ ( ∑ i = 1 n ∣ ξ i ( m ) − ξ i ( 0 ) ∣ 2 )    ⟺    lim ⁡ m → ∞ ξ i ( m ) = ξ i ( 0 ) \begin{aligned} &取一组基底e_1,e_2,\cdots,e_n，令X_m=\xi_1^{(m)}e_1+\cdots+\xi_n^{(m)}e_n,X_0=\xi_1^{(0)}e_1+\cdots+\xi_n^{(0)}e_n\\ &由二范数定义,\forall x=\left( \begin{matrix} \xi_1\\\xi_2\\\vdots\\\xi_n \end{matrix} \right)\in C^n,\Vert X\Vert_2=(\sum_{i=1}\limits^n\vert \xi_i\vert^2)^{\frac{1}{2}}\\ &按范数收敛是等价的，\therefore\lim_{m\rightarrow \infty}\Vert X_m-X_0\Vert=0\iff \lim_{m\rightarrow \infty}\Vert X_m-X_0\Vert_2=0\\ &\iff \lim_{m\rightarrow \infty}(\sum_{i=1}\limits^n\vert \xi_i^{(m)}-\xi_i^{(0)}\vert^2 )\iff \lim_{m\rightarrow \infty}\xi_i^{(m)}=\xi_i^{(0)} \end{aligned} ​取一组基底e1​,e2​,⋯,en​，令Xm​=ξ1(m)​e1​+⋯+ξn(m)​en​,X0​=ξ1(0)​e1​+⋯+ξn(0)​en​由二范数定义,∀x= ​ξ1​ξ2​⋮ξn​​ ​∈Cn,∥X∥2​=(i=1∑n​∣ξi​∣2)21​按范数收敛是等价的，∴m→∞lim​∥Xm​−X0​∥=0⟺m→∞lim​∥Xm​−X0​∥2​=0⟺m→∞lim​(i=1∑n​∣ξi(m)​−ξi(0)​∣2)⟺m→∞lim​ξi(m)​=ξi(0)​​

7.1.2 矩阵范数

a. 矩阵范数定义

对于一个方阵 $A\in C^{n,n}$ ，矩阵范数 $\Vert A\Vert$ 表示某个法则与A对应的非负函数，且满足4个条件：

• 正性：$A\ne 0$ 时，$\Vert A\Vert >0$ ，当且仅当 $A=0$ 时， $\Vert A\Vert =0$
• 齐性：$\Vert kA\Vert =|k|\cdot \Vert A\Vert ,\forall k\in C$
• 三角形：对于任两个矩阵 $A,B\in C^{n,n}$ ，有 $\Vert A+B\Vert \le \Vert A\Vert +\Vert B\Vert$
• 相容性（次乘性）：$\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \cdot \Vert B\Vert ,A,B\in C^{n,n}$

则 $\Vert A\Vert$ 为矩阵范数（相容范数）

矩阵范数定义2：设方阵空间 $C^{n\times n}$ 上非负函数 $\phi (A),A\in C^{n\times n}$ ，有：

• 正性：$\phi (A)>0(A\ne 0)$
• 齐性：$\phi (kA)=|k|\phi (A),k\in C$
• 三角形：$\phi (A+B)\le \phi (A)+\phi (B),A,B\in C^{n\times n}$
• 相容性：$\phi (AB)\le \phi (A)\cdot \phi (B)$

则称 $\phi (A)$ 为空间 $C^{n\times n}$ 上的矩阵范数，记为 $\phi (A)=\Vert A\Vert$

b. 常用范数

令方阵 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}\in C^{n\times n}$

• 1-范数(最大列和)：$\Vert A{\Vert }_1=\underset{j}{\max }\sum _{i=1}^n|a_{ij}|,j=1,\cdots ,n$

  列是一个数据，对应的是向量范数的1-范数，能代表一个列向量

• $\infty$ 范数(最大行和)：$\Vert A{\Vert }_{\infty }=\underset{i}{\max }\sum _{j=1}^n|a_{ij}|(i=1,\cdots ,n)$

  行是一个维度，对应的是向量范数的 $\infty$ -范数，能代表一个维度特征

• 2-范数(谱范数)：$\Vert A{\Vert }_2=({\lambda }_1(A^{H}A){)}^{\frac{1}{2}}$ ，${\lambda }_1(A^{H}A)$ 表示 $A^{H}A$ 的最大特征值，即 $\Vert A{\Vert }_2$ 是 A 的最大特征值

• 总和范数：$\Vert A{\Vert }_M=\sum |a_{ij}|$

• F-范数：$\Vert A{\Vert }_F=(\sum |a_{ij}{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{tr(A^{H}A)}$

• G-范数： ∥ A ∥ G = n ⋅ m a x { ∣ a i j ∣ } \Vert A\Vert_G=n\cdot max\{\vert a_{ij}\vert\} ∥A∥G​=n⋅max{∣aij​∣}

eg

几种范数关系

$$\begin{array}{rl}& \Vert A{\Vert }_{\infty }=\Vert A^H{\Vert }_1,\Vert A{\Vert }_1=\Vert A^H{\Vert }_{\infty }\\ & \Vert A{\Vert }_2=\Vert A^H{\Vert }_2,\Vert A{\Vert }_F=\Vert A^H{\Vert }_F=(tr(A^{H}A){)}^{\frac{1}{2}}\\ & U,V为U阵，则\Vert UA{\Vert }_F=\Vert AV{\Vert }_F=\Vert UAV{\Vert }_F=\Vert A{\Vert }_F\\ & A\in C^{n\times n}，x\in C^n,则\Vert Ax{\Vert }_2\le \Vert A{\Vert }_F\Vert x{\Vert }_2\end{array}$$

c. 矩阵范数性质

1. $\Vert A\pm B\Vert \le \Vert A\Vert +\Vert B\Vert$

   

2. $\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \cdot \Vert B\Vert$

   

3. 幂公式：$\Vert A^k\Vert \le \Vert A{\Vert }^k$

   $\Vert I\Vert \ge 1$

   谱半径幂公式：$\rho (A^k)\le [\rho (A){]}^k$ ，k=1,2,…
   由谱半径定义 ρ ( A ) = m a x { ∣ λ 1 ∣ , ∣ λ 2 ∣ , ⋯   , ∣ λ n ∣ } ， 其中方阵 A = A n × n 特征值 λ ( A ) = { λ 1 , ⋯   , λ n } 可知 λ ( A k ) = { λ 1 k , ⋯   , λ n k } ⇒ ρ ( A k ) = m a x { ∣ λ 1 ∣ k , ⋯   , ∣ λ n ∣ k } = [ ρ ( A ) ] k \begin{aligned} &由谱半径定义 \rho(A)=max\{\vert \lambda_1\vert,\vert \lambda_2\vert,\cdots,\vert \lambda_n\vert\}，\\ &其中方阵A=A_{n\times n} 特征值\lambda(A)=\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}\\ &可知 \lambda(A^k)=\{\lambda_1^k,\cdots,\lambda_n^k\}\Rightarrow \rho(A^k)=max\{\vert \lambda_1\vert^k,\cdots,\vert \lambda_n\vert^k \}=[\rho(A)]^k \end{aligned} ​由谱半径定义ρ(A)=max{∣λ1​∣,∣λ2​∣,⋯,∣λn​∣}，其中方阵A=An×n​特征值λ(A)={λ1​,⋯,λn​}可知λ(Ak)={λ1k​,⋯,λnk​}⇒ρ(Ak)=max{∣λ1​∣k,⋯,∣λn​∣k}=[ρ(A)]k​

4. 公式：$\Vert kA\Vert =|k|\cdot \Vert A\Vert$ ，$\rho (kA)=|k|\rho (A)$

   SP：$\Vert -A\Vert =\Vert A\Vert$ ，$\rho (-A)=\rho (A)$

d. 矩阵范数定理

1. $A\in C^{m\times n}$ 的任一范数都是A的元素的连续函数
2. 任两个范数等价，即对2个范数 $\Vert A{\Vert }_{\alpha }.\Vert A{\Vert }_{\beta }$ ，存在正数 $k_1,k_2$ ，使得 $\forall A\in C^{m\times n}$ ，都有 $k_1\Vert A{\Vert }_{\beta }\le \Vert A{\Vert }_{\alpha }\le k_2\Vert A{\Vert }_{\beta }$ ，即$k_1\le \frac{\Vert A{\Vert }_{\alpha }}{\Vert A{\Vert }_{\beta }}\le k_2$
3. 矩阵序列 $A_k$ 按任一范数收敛于 $A_0⟺$ 按元素收敛 $\underset{k\to \infty }{\lim }{a}_{ij}^k=a_{ij}^0,\forall i,j$

SP ： 任一矩阵范数 $\Vert A\Vert$ 都和总和范数 $\Vert A{\Vert }_M=\sum |a_{i,j}|$ 等价，存在整数 $k_1$,$k_2$ ，使 $k_1\le \frac{\Vert A\Vert }{\Vert A{\Vert }_M}\le k_2$

$\frac{1}{n}\le \frac{\Vert A{\Vert }_1}{\Vert A{\Vert }_M}\le 1$ ，$\frac{1}{n}\le \frac{\Vert A{\Vert }_{\infty }}{\Vert A{\Vert }_M}\le 1$ ，$\frac{1}{n}\le \frac{\Vert A{\Vert }_F}{\Vert A{\Vert }_M}\le 1$文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-422516.html

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