【】【理论+题型】二次型化标准型 +合同-Toy模板网

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（A）二次型化标准型2方法对比
1任何二次型都能化为标准，有正交变换法和配方法
2任何二次型都能通过配方法变为标准型，但不一定能通过正交变化法变
3二次型的规范型唯一，标准型不唯一
4实对称阵的(合同)对角化问题，即是相应的二次型化标准型问题
5正交变换法和配方法过程和结果对比（考试2大方向方法）
（1）过程对比
①正交变换法：就是矩阵相似对角化的过程，此法将合同问题转为了矩阵求特征值问题（求特征值特征向量，正交单位化找正交阵的套路过程）
②配方法：代数方法，就是配方
（2）结果对比
①正交变换法：所得对角阵的对角线元素为特征值
②配方法：所得对角阵的对角线元素的正负反映了正负惯性指数

6 实对称(合同)对角化 == 二次型化标准型，2大方法：①正交变换法（即之前相似对角化的套路过程） ②配方法（代数法）【23年数一真题将该点考到了巅峰理解】

（B）合同
（1）矩阵的相似与合同可理解为一种函数作用：相似作用是P^{(-1)AP（P可逆），合同作用是P}(T)AP（P可逆）。相似(对角化)与合同(对角化)的效果都是在一个可逆阵P的作用下，将一个矩阵A化为一个对角阵。只不过合同问题的A是实对称阵；相似问题最终的对角阵元素为特征值，合同矩阵最终的对角阵不唯一（即二次型的标准型不唯一），是平方项前的系数
（2）考研范围内只研究实对称阵的合同问题
（3）实对称阵的(合同)对角化问题，即是相应的二次型化标准型问题。二次型化为标准型有2种方法：正交变换法和配方法[①正交变换法就是矩阵相似对角化的过程，此法将合同问题转为了相似问题（就是求特征值特征向量，正交单位化找正交阵的套路过程） ②配方法总可将任意一个二次型变为标准型，正交变换法不一定]

·实对称合同对角化 == 二次型化标准型 == 二次型对角化（一个二次型化为对角二次型） == 求正负惯性指数
·实对称合同的2大手法方向：
①矩阵求特征值法：转用求特征值，特征向量的相似那的熟悉套路做如题说用正交变换/求正交阵…
②配方法：如题说用配方法化二次型为标准型/求可逆阵化一个二次型为标准型/另一个二次型 (对角二次型即为标准型)

（一）题型一：判断2个实对称阵是否合同
（1）【技】由矩阵类型直接看能否合同：对称阵与对称阵合同，不与非对称阵合同（非对称阵才可能与非对称阵合同）
（2）2个n阶实对称A B合同的充要条件：A B正负惯性指数相同
【题目】求正负惯性指数即二次型的标准化问题，可用矩阵法求特征值or配方法。下题用的配方法

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