二阶三阶行列式
二阶行列式
二阶行列式：两行两列，四个元素，用
a
i
j
a_{ij}
aij 表示，其中
i
i
i 表示行标，
j
j
j 表示列标。
左上角到右下角为主对角线，左下角到右上角为次对角线；
行列式的值为主对角线上的值相乘减去次对角线相乘的值。
三阶行列式
三阶行列式：三行三列，九个元素，表示为：
排列与逆序数
排列
排列：由
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,
n
1, 2, 3, ... , n
1,2,3,...,n 组成的一个有序数组叫做
n
n
n 级排列。
e
.
g
.
e.g.
e.g.
1245
1245
1245 不为排列，缺少数
3
3
3；
312
312
312为一个三级排列；
n
n
n级排列共有
n
!
n!
n! 种排列方法。
逆序
逆序：大数排在小数的前面， e . g . e.g. e.g. 比如 312 312 312 中 3 3 3 排在 1 1 1 前面， 3 3 3 排在 2 2 2 前面，构成逆序；
逆序数：逆序的个数，
e
.
g
.
e.g.
e.g. 在
312
312
312 中，存在两个逆序，所以逆序数为
N
(
312
)
=
2
N(312)=2
N(312)=2。
e
.
g
.
e.g.
e.g.
N
(
n
(
n
−
1
)
.
.
.
321
)
=
n
(
n
−
1
)
2
N(n(n-1)...321)=\frac {n(n-1)} 2
N(n(n−1)...321)=2n(n−1)
奇排列与偶排列
若逆序数为偶数，则为偶排列；若逆序数为奇数，则为奇排列。
自然排列/标准排列
N ( 123... n ) = 0 N(123...n)=0 N(123...n)=0 为标准排列，又称为自然排列。
对换
交换排列中两个数的位置，称为一次对换。
e
.
g
.
e.g.
e.g. 排列
54123
54123
54123 一次对换后
54213
54213
54213；对换的两个数可以任意不同位置对换。
性质：一个排列经过一次对换，奇偶性改变。
e
.
g
.
e.g.
e.g.
N
(
54123
)
=
4
+
3
+
0
+
0
+
0
=
7
N(54123)=4+3+0+0+0=7
N(54123)=4+3+0+0+0=7 一次对换后
N
(
51423
)
=
4
+
0
+
2
+
0
+
0
=
6
N(51423)=4+0+2+0+0=6
N(51423)=4+0+2+0+0=6，从奇排列变为偶排列。
n阶行列式
按行展开
按行展开：行标取标准排列，列标取排列的所有可能，从不同行不同列取出3个元素相乘。符号由列标排列的奇偶性决定的。
e
.
g
.
e.g.
e.g. 三阶行列式按行展开
按列展开
按列展开：列标取标准排列，行标取排列的所有可能，从不同行不同列取出n个元素相乘。符号由行标排列的奇偶性决定的。
D
=
∑
i
1
i
2
.
.
.
i
n
(
−
1
)
N
(
i
1
i
2
.
.
.
i
n
)
a
i
1
1
a
i
2
2
.
.
.
a
i
n
n
D=\sum_{i_1i_2...i_n} (-1)^{N(i_1i_2...i_n)}a_{i_11} a_{i_22} ... a_{i_nn}
D=i1i2...in∑(−1)N(i1i2...in)ai11ai22...ainn
既不按行也不按列展开
从不同行不同列取出，具有通用性。
D
=
∑
(
−
1
)
N
(
i
1
i
2
.
.
.
i
n
)
+
N
(
j
1
j
2
.
.
.
j
n
)
a
i
1
j
1
a
i
2
j
2
.
.
.
a
i
n
j
n
D=\sum (-1)^{N(i_1i_2...i_n)+N(j_1j_2...j_n)}a_{i_1j_1} a_{i_2j_2} ... a_{i_nj_n}
D=∑(−1)N(i1i2...in)+N(j1j2...jn)ai1j1ai2j2...ainjn
e
.
g
.
e.g.
e.g.
(
−
1
)
N
(
i
21
m
)
+
N
(
1
k
32
)
a
i
1
a
2
k
a
13
a
m
2
(-1)^{N(i21m)+N(1k32)}a_{i1}a_{2k}a_{13}a_{m2}
(−1)N(i21m)+N(1k32)ai1a2ka13am2，求
i
,
k
,
m
i,k,m
i,k,m 的值
由排列性质得：
k
=
4
k=4
k=4 且
i
=
3
,
m
=
4
i=3,m=4
i=3,m=4 或
i
=
4
,
m
=
3
i=4,m=3
i=4,m=3
上三角与下三角行列式
上三角行列式
下三角行列式
对角形行列式
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-423530.html
以上内容为线性代数第一部分行列式的基本概念
下一节内容为：行列式的性质
2022.10.29 星期六文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-423530.html
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