19行列式公式和代数余子式

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行列式公式

学习了关于行列式的这么多性质,现在我们有能力推导二阶行列式公式了:
19行列式公式和代数余子式
观察上面的推导过程,不难发现,行列式的值等于使用性质3.b 分解后所得的那些非零行列式的和,所谓的非零行列式也即该行列式各行各列都有元素,故值不为零。

带着这个重要发现,我们继续尝试计算三阶行列式。以同样的步骤,先保持第2 ,3 行不变,将第1 行
进行拆分得到3 个行列式,分别对这3 个行列式的第2 行进行拆分得到共9 个行列式,再接着拆分这 9
个行列式的第3 行,最终得到27 个行列式,而我们只需要其中的非零行列式:
19行列式公式和代数余子式
19行列式公式和代数余子式

代数余子式

回顾上面的3 X 3 矩阵,我们已经得到了它的行列式公式:
19行列式公式和代数余子式容3 X 3 的行列式由2 X 2 行列式组成。事实上, n阶行列式同样可化为多个n - 1 阶行列式的组合。下面我们正式介绍代数余子式的概念:

  • 改写中的括号部分就是代数余子式。 比如(a22a33 - a23a32)就是a11的代数余子式,(-a21a33 + a23a31)就是a12的代数余子式。
  • **代数余子式 (cofactors) 是与选定元素配套的,**这也即 ‘co-’ 的意思。
  • 选定元素aij的代数余子式即为:将原行列式中的第i行和第j列抹去后得到的n - 1阶行列式,再取正负(i + j为偶时取+,i+j为奇时取-),整个记为Cij:
    19行列式公式和代数余子式
    基于代数余子式的概念,我们容易给出新的求行列式的公式:
    19行列式公式和代数余子式
    到目前为止,我们学习了三种求解行列式的方法,总结如下:
  • 消元,将矩阵化为三角矩阵,主元乘积记为行列式的值(最简单)
  • 按照行列式公式将行列式完全展开,找到 种非零行列式,计算这些行列式的值的和(最复杂)
  • 使用代数余子式对行列式进行降阶,展开得到更简单的行列式,然后再求解(介于二者之间)

下面我们举由 1组成的三对角矩阵为例,来熟悉如何使用代数余子式求解行列式:

19行列式公式和代数余子式
对于A1和A2能够迅速求出其行列式(利用性质):A1 = 1,A2 = 0。
对于A3无法一眼看出答案,这里可以就A3使用这种新方法:
19行列式公式和代数余子式
注意到,按第二行展开时,这与不等于0的aij 的个数有关。在使用代数余子式求行列式时,应该尽量选取 0元素多的行。如果各行 0元素都很少,那么根据消元不改变行列式的性质(性质5 ),我们可以先对矩阵进行消元,以得到 0元素多的行,然后再使用代数余子式进行行列式的求解。

19行列式公式和代数余子式

需要补充说明的是,使用代数余子式求行列式时可以按行展开,也可以按列展开(性质10 ),比
如上式中的19行列式公式和代数余子式,可以选取第一列展开(因为第一列 元素多),那么易得
19行列式公式和代数余子式
综上,|A4| = |A3| - |A2| = -1 - 0 = -1。猜想由1组成的三对角矩阵的行列式值的规律可能正是|An| = |An-1| - |An-2| ,事实上,这确实就是由1组成的三对角矩阵行列式值的规律,这是由1组成的三对角矩阵的特殊结构所决定的。

由此规律,易得|A5| = 0,|A6| = 1 ,|A7| = 1 ,|A8| = 0,到这里发现:由1组成的n阶三对角矩阵的行列式值从1阶开始按照1,0,-1,-1,0,1循环,周期为6。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-424698.html

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