分治与减治算法实验：题目2 排序中分治法的程序设计

目录

前言：

一、实验内容

二、实验目的

三、实验步骤

四、实验过程

1、算法分析

2、写出伪代码

3、代码实现

4、代码详解

5、用例测试

6、复杂度分析

总结

前言：

分治法是一种将复杂问题分解为若干个相同或相似的子问题，然后递归地求解子问题，最后将子问题的解合并为原问题的解的算法设计思想。减治法是一种将复杂问题简化为规模较小的同类问题，然后递归地求解简化后的问题，最后得到原问题的解的算法设计思想。分治法和减治法都是利用递归技术实现的算法。

排序是计算机科学中最基本也最重要的问题之一，它的目的是将一组无序的数据按照某种规则排列成有序的数据。排序中有许多经典的分治法和减治法的应用，例如快速排序、归并排序、堆排序等。这些排序算法都有各自的优缺点，需要根据不同的场景和需求选择合适的算法。

本实验旨在通过排序中分治法的程序设计，掌握分治法和减治法在排序问题上的应用，了解不同排序算法的原理、步骤、性能和特点，能够使用高级语言实现和测试这些排序算法，并能够分析和比较它们之间的异同。

本文中使用的语言是C语言，使用的ide是devc++
 

一、实验内容

给出一个初始序列，分别用归并法和快速排序两种分治法将所给序列变为有序序列，输出结果，输出是要有文字说明。请任选一种语言编写程序实现上述算法，并分析其算法复杂度

二、实验目的

（1）掌握归并排序和快速排序的划分方法；

（2）掌握归并排序和快速排序的具体分治策略；

（3）在掌握的基础上编程两种排序方法的实现过程。

三、实验步骤

1、写出伪代码进行算法描述

2、使用c++编写程序完成上述算法

3、使用测试用例对算法进行测试

4、对算法的复杂度进行分析

四、实验过程

1、算法分析

归并排序和快速排序都是分治算法的经典代表。两种算法都通过递归来实现，过程非常相似。归并排序非常稳定，但不是原地排序；快速排序，是原地排序算法，应用得更加广泛。

归并排序：将序列分成两个子序列，对每个子序列进行递归排序，然后将两个排好序的子序列合并成一个有序序列。
快速排序：选取一个基准元素，将小于等于基准元素的元素放到左边，大于基准元素的元素放到右边，然后对左右两个子序列递归进行快速排序。

2、写出伪代码

归并排序：

merge_sort(arr, p, r)
    if p < r
        q = (p + r) / 2
        merge_sort(arr, p, q)
        merge_sort(arr, q+1, r)
        merge(arr, p, q, r)

merge(arr, p, q, r)
    n1 = q - p + 1
    n2 = r - q
    let L[1..n1+1] and R[1..n2+1] be new arrays
    for i = 1 to n1
        L[i] = arr[p + i - 1]
    for j = 1 to n2
        R[j] = arr[q + j]
    L[n1+1] = infinity
    R[n2+1] = infinity
    i = 1
    j = 1
    for k = p to r
        if L[i] <= R[j]
            arr[k] = L[i]
            i = i + 1
        else arr[k] = R[j]
            j = j + 1

快速排序：

quick_sort(arr, low, high)
    if low < high
        pivot_location = partition(arr, low, high)
        quick_sort(arr, low, pivot_location - 1)
        quick_sort(arr, pivot_location + 1, high)

partition(arr, low, high)
    pivot_item = arr[low]
    left_mark = low + 1
    right_mark = high
    done = False
    while not done
        while left_mark <= right_mark and arr[left_mark] <= pivot_item
            left_mark += 1
        while right_mark >= left_mark and arr[right_mark] >= pivot_item
            right_mark -= 1
        if right_mark < left_mark
            done = True
        else swap arr[left_mark] with arr[right_mark]
    swap arr[low] with arr[right_mark]
    return right_mark

3、代码实现

#include <iostream>
using namespace std;

void merge(int arr[], int l, int m, int r) {
   int i, j, k;
   int n1 = m - l + 1;
   int n2 = r - m;

   int L[n1], R[n2];

   for (i = 0; i < n1; i++)
       L[i] = arr[l + i];
   for (j = 0; j < n2; j++)
       R[j] = arr[m + 1 + j];

   i = 0;
   j = 0;
   k = l;
   while (i < n1 && j < n2) {
       if (L[i] <= R[j]) {
           arr[k] = L[i];
           i++;
       }
       else {
           arr[k] = R[j];
           j++;
       }
       k++;
   }

   while (i < n1) {
       arr[k] = L[i];
       i++;
       k++;
   }

   while (j < n2) {
       arr[k] = R[j];
       j++;
       k++;
   }
}

void mergeSort(int arr[], int l, int r) {
   if (l >= r) {
       return;
   }
   int m = l + (r - l) / 2;
   mergeSort(arr, l, m);
   mergeSort(arr, m + 1, r);
   merge(arr, l, m, r);
}

int partition(int arr[], int low, int high) {
   int pivot = arr[high];
   int i = (low - 1);

   for (int j = low; j <= high - 1; j++) {
       if (arr[j] < pivot) {
           i++;
           swap(arr[i], arr[j]);
       }
   }
   swap(arr[i + 1], arr[high]);
   return (i + 1);
}

void quickSort(int arr[], int low, int high) {
   if (low < high) {
       int pi = partition(arr, low, high);
       quickSort(arr, low, pi - 1);
       quickSort(arr, pi + 1, high);
   }
}
int main() {
   // 归并排序
   cout << "归并排序" << endl;
   cout << "请输入待排序序列长度：";
   int n;
   cin >> n;
   cout << "请输入待排序序列：";
   int a[n];
   for (int i = 0; i < n; i++) {
       cin >> a[i];
   }
   mergeSort(a, 0, n - 1);
   cout << "排序后的序列为：";
   for (int i = 0; i < n; i++) {
       cout << a[i] << " ";
   }
   
   // 快速排序
   cout << endl << endl << "快速排序" << endl;
   cout << "请输入待排序序列长度：";
   
   cin >> n;
   
   cout << "请输入待排序序列：";
   
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    quickSort(a, 0, n - 1);
    cout << "排序后的序列为：";
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cout << a[i] << " ";
    }
    return 0;
}

4、代码详解

上述代码实现使用C语言实现了归并排序和快速排序两种分治算法

归并排序是一种分治算法，它将待排序的序列分成两个子序列，对每个子序列进行递归排序，然后将两个排好序的子序列合并成一个有序序列。具体来说，mergeSort函数实现了归并排序。mergeSort函数的参数包括待排序数组arr、数组左端点l和右端点r。如果l>=r，则返回；否则，计算中间点m=(l+r)/2，对左半部分arr[l…m]进行递归排序，对右半部分arr[m+1…r]进行递归排序，最后将左右两个排好序的子序列合并成一个有序序列。

快速排序也是一种分治算法，它选取一个基准元素，将小于等于基准元素的元素放到左边，大于基准元素的元素放到右边，然后对左右两个子序列递归进行快速排序。具体来说，partition函数实现了快速排序。partition函数的参数包括待排序数组arr、数组左端点low和右端点high。首先选取基准元素pivot=arr[high]，然后从low到high-1遍历数组arr。如果arr[j]<pivot，则将arr[i]和arr[j]交换，并将i加1。最后将arr[i+1]和arr[high]交换，并返回i+1

5、用例测试

​

6、复杂度分析

• 归并排序：将待排序序列分成若干个子序列，每个子序列都是有序的。然后再将有序子序列合并成整体有序序列。归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(n)。
• 快速排序：通过一趟排序将待排记录分隔成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分记录的关键字小，则可分别对这两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序。快速排序的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(logn)。

当n趋近于无穷大时，归并排序和快速排序的时间复杂度都是O(nlogn)。归并排序的时间复杂度始终都是O(nlogn)，而快速排序虽然最坏情况下时间复杂度为O(n^2)，但平均情况下时间复杂度为O(nlogn)，最坏情况发生的概率也比较小，因此应用得更加广泛 

总结

这篇文章介绍了分治法和减治法的算法设计思想，以及它们在排序问题中的应用。文章提到了许多经典的分治法和减治法的应用，例如快速排序、归并排序、堆排序等。这些排序算法都有各自的优缺点，需要根据不同的场景和需求选择合适的算法。文章还介绍了本实验的目的和内容，即通过排序中分治法的程序设计，掌握分治法和减治法在排序问题上的应用，了解不同排序算法的原理、步骤、性能和特点，能够使用高级语言实现和测试这些排序算法，并能够分析和比较它们之间的异同。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-424770.html

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