PT_二维随机变量:正态分布的可加性/一维随机变量函数与正态分布-Toy模板网

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一维随机变量函数与正态分布

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🎈正态分布的可加性

区别于一维随机变量的函数的正态分布的规律,多维随机变量(各个分量相互独立同分布)具有不同的规律
- 在一维的情况中, $X\sim{N(\mu,\sigma^2)},则Y=aX+b\sim{N(a\mu+b,a^2\sigma^2)}$
- $n为随机变量(n个独立的随机变量X_i)服从的正态分布满足可加性:$
  - $X_i\sim{N(\mu_i,\sigma_i^2)},i=1,2,\cdots$
  - $T=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i \sim{N(\sum\limits_{i=1}^{n}\mu_i,\sum\limits_{i=1}^{n}\sigma_i^2)}$
  - 特别的,当 $X_i$ 之间是独立且同分布的时候
    $\mu_i=\mu,\sigma_i=\sigma;(i=1,2,\cdots) \\S=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i \sim{N(n\mu,n\sigma^2)} \\\overline{X}=\frac{1}{n}S\sim{N(\frac{1}{n}n\mu,\frac{1}{n^2}n\sigma^2)} \\ 即:\overline{X}=\frac{1}{n}S\sim{N( \mu,\frac{1}{n}\sigma^2)}$
- 需要小心区分的情况是:
  - 有a个独立同分布的变量 $X_i,i=1,2,\cdots,a$
    - $T=\sum\limits_{i=1}^{a}X_i \sim{N(\sum\limits_{i=1}^{a}\mu_i,\sum\limits_{i=1}^{a}\sigma_i^2)}$
    - 而不是 $N(a\mu+b,a^2\sigma^2)$
$设X,Y是相互独立的随机变量,X\sim{N(\mu_1,\sigma_1^2)}$
- $Y\sim{N(\mu_2,\sigma_2^2)}$
- $Z=X+Y\sim{N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)}$
- 借助概率卷积公式:
  - $f_z(z)=\int_{-\infin}^{+\infin}f_X(x)f_Y(z-x)dx \\其中: f_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1} e^{-\frac{u^2}{2}} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1} e^{-\frac{({x-\mu_1})^2}{2\sigma_1^2}} \\ f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2} e^{-\frac{v^2}{2}} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2} e^{-\frac{({x-\mu_2})^2}{2\sigma_2^2}} \\ f_Y(z-x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2} e^{-\frac{v^2}{2}} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2} e^{-\frac{({(z-x)-\mu_2})^2}{2\sigma_2^2}} \\ f_z(z)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2} \int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{1}{2}{(u^2+v^2)}}dx$
    - $u=u(x)=\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}; v=v(y)=\frac{y-\mu_2}{\sigma_2} \\t=u^2+v^2=\frac{1}{\sigma_1^2}(x-\mu_1)^2 +\frac{1}{\sigma_2^2}(y-\mu_2)^2 \\=\frac{1}{\sigma_1^2\sigma_2^2} ( \sigma_2^2(x-\mu_1)^2+\sigma_1^2(y-\mu_2)^2 )$

记号和说明

$\\记: \\q=\frac{1}{\sigma_1^2\sigma_2^2} \\ \sigma_1\sigma_2=\sqrt{q^{-1}} \\y=\sigma_2^2(x-\mu_1)^2+\sigma_1^2(y-\mu_2)^2 \\ t=qy \\$

化简y

$y=\sigma_2^2(x-\mu_1)^2+\sigma_1^2(z-x-\mu_2)^2 \\=\sigma_2^2(x-\mu_1)^2+\sigma_1^2((z-\mu_2)-x)^2 \\=\sigma_2^2(x^2-2x\mu_1+\mu_1^2)+\sigma_1^2(z-\mu_2)^2-2\sigma_1^2(z-\mu_2)x+\sigma_1^2x^2 \\=(\sigma_2^2+\sigma_1^2)x^2 +x(-2\sigma_2^2\mu_1-2\sigma_1^2(z-\mu_2)) +\sigma_2^2\mu_1^2+\sigma_1^2(z-\mu_2)^2 \\\\=(\sigma_2^2+\sigma_1^2) ( x^2+2x \frac{(-\sigma_2^2\mu_1-\sigma_1^2(z-\mu_2))} {(\sigma_2^2+\sigma_1^2)} ) +\sigma_2^2\mu_1^2+\sigma_1^2(z-\mu_2)^2 \\\\=(\sigma_2^2+\sigma_1^2) (( x -\frac{(\sigma_2^2\mu_1+\sigma_1^2(z-\mu_2))} {(\sigma_2^2+\sigma_1^2)} )^2 -(\frac{(\sigma_2^2\mu_1+\sigma_1^2(z-\mu_2))} {(\sigma_2^2+\sigma_1^2)})^2) \\+\sigma_2^2\mu_1^2+\sigma_1^2(z-\mu_2)^2$
$\\y=(\sigma_2^2+\sigma_1^2) ( x -\frac{(\sigma_2^2\mu_1+\sigma_1^2(z-\mu_2))} {(\sigma_2^2+\sigma_1^2)} )^2) \\-(\sigma_2^2+\sigma_1^2)(\frac{(\sigma_2^2\mu_1+\sigma_1^2(z-\mu_2))} {(\sigma_2^2+\sigma_1^2)})^2) \\+\sigma_2^2\mu_1^2+\sigma_1^2(z-\mu_2)^2 \\\\=(\sigma_2^2+\sigma_1^2) ( x -\frac{(\sigma_2^2\mu_1+\sigma_1^2(z-\mu_2))} {(\sigma_2^2+\sigma_1^2)} )^2) \\- \frac{(\sigma_2^2\mu_1+\sigma_1^2(z-\mu_2))^2} {(\sigma_2^2+\sigma_1^2)} \\+\sigma_2^2\mu_1^2+\sigma_1^2(z-\mu_2)^2$

$y=(\sigma_2^2+\sigma_1^2) ( x -\frac{(\sigma_2^2\mu_1+\sigma_1^2(z-\mu_2))} {(\sigma_2^2+\sigma_1^2)} )^2 \\- \frac{(\sigma_2^2\mu_1+\sigma_1^2(z-\mu_2))^2} {(\sigma_2^2+\sigma_1^2)} \\+\sigma_2^2\mu_1^2+\sigma_1^2(z-\mu_2)^2$

y的记号

$\\ A=(\sigma_2^2+\sigma_1^2) \\ B=\sigma_2^2\mu_1+\sigma_1^2(z-\mu_2) \\ C=\sigma_2^2\mu_1^2+\sigma_1^2(z-\mu_2)^2$

$y=A(x-\frac{B}{A})^2-\frac{B^2}{A}+C \\=A(x-\frac{B}{A})^2+\frac{AC-B^2}{A} \\$

$将\frac{AC-B^2}{A}展开整理并合并后,可以得到 \\ \frac{AC-B^2}{A} =\frac{(\sigma_1\sigma_2)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}(z-\mu_1-\mu_2)^2$

代回表达式

$f_z(z)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2} \int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{1}{2}t}dx \\ f_z(z)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2} \int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{1}{2}qy}dx \\\\ =\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2} \int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{1}{2(q^{-1})}{(A(x-\frac{B}{A})^2+\frac{AC-B^2}{A})}}dx \\\\$
- $=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}e^{-\frac{AC-B^2}{2A(q^{-1})}} \int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{1}{2(q^{-1})}{A(x-\frac{B}{A})^2}}dx \\=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}e^{-\frac{AC-B^2}{2A(q^{-1})}} \int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{1}{2(Aq)^{-1}}{(x-\frac{B}{A})^2}}dx \\=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}e^{-\frac{AC-B^2}{2A(q^{-1})}} (\sqrt{2\pi}\sqrt{(Aq)^{-1}}) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{(Aq)^{-1}}} \int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{1}{2(Aq)^{-1}}{(x-\frac{B}{A})^2}}dx \\=\frac{1}{2\pi\sqrt{q^{-1}}}e^{-\frac{AC-B^2}{2A(q^{-1})}} (\sqrt{2\pi}\sqrt{(Aq)^{-1}}) \\其中\sigma_1^2\sigma^2=q^{-1} \\ \frac{AC-B^2}{A} =\frac{(\sigma_1\sigma_2)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}(z-\mu_1-\mu_2)^2 \\=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{q^{-1}}(\ \sqrt{(Aq)})}e^{-\frac{AC-B^2}{2A(q^{-1})}} \\=\frac{1}{\sqrt{2\pi}(\sqrt{A})}e^{-\frac{1}{2(\sigma_1^2\sigma^2)}\frac{(\sigma_1\sigma_2)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}(z-\mu_1-\mu_2)^2} \\=\frac{1}{\sqrt{2\pi}(\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2})} e^{-\frac{1}{2 }\frac{1}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}(z-(\mu_1+\mu_2))^2}$
- 因此: $Z=X+Y\sim{N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)}$ 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-425093.html