数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度)

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目录

基本介绍

平衡因子

平衡二叉树 

平衡二叉树的高度 


基本介绍

什么是平衡二叉树?

以一个例子来解释一下:

搜索树结点按不同的插入次序,将会导致不同的深度和平均查找长度ASL

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数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度) 

在二叉搜索树中查找一个元素: 

(a)要找到Jan,需要查找一次;要找到Feb,需要查找两次;

要找到Mar,也需要查找两次......要找到Nov,需要查找六次。

把所有查找次数加起来,再除以12,

得到平均查找长度:ASL(a) = ( 1 + 2 * 2 + 3 * 3 + 4 * 3 + 5 * 2 + 6 * 1 ) / 12 = 3.5

(b)要找到July,需要查找一次;要找到Feb,需要查找两次;

要找到May,也需要查找两次......要找到Sept,需要查找四次。

算出平均查找长度:ASL(b) = (1 + 2 * 2 + 3 * 4 + 4 * 5) / 12 = 3.0

(c)要找到Apr,需要查找一次;要找到Aug,需要查找两次......

要找到Sept,需要查找十二次。

算出平均查找长度:ASL(c) = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12) / 12 = 6.5 

 通过上面的例子,我们可以看到方式b的平均查找长度最短,在观感上结点的分布也比较均匀。

所以二叉树,我们要求比较平衡,才能够让查找的长度更短一些。

而如何衡量一颗二叉树平衡不平衡呢?

  1. 是左右两边的结点数差不多
  2. 是左右两边的高度差不多

这样我们就认为基本上平衡,即为平衡二叉树。

平衡因子

平衡因子(Balance Factor,简称BF):

BF(T) = -, 其中和分别为T的左、右子树的高度。

平衡二叉树 

平衡二叉树(Balanced Binary Tree) (AVL树)

空树,或者任一结点左、右子树高度差的绝对值不超过1,即

下面来判断一下以下几颗二叉树是否为平衡二叉树:

(1)

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(2)

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(3) 

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 先来看第一棵二叉搜索树:

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再来看第二棵二叉搜索树:

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最后看第三棵二叉搜索树:

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平衡二叉树的高度 

我们要二叉树平衡,其目的是为了让二叉树的高度更低一些,

越平衡的二叉树高度就越低。

一棵结点总数为n的完全二叉树高度为 h = log2n,

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那么平衡二叉树的高度是否能达到呢?

设为 高度为h的平衡二叉树的最少结点数。 结点数最少时: 

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总结出: 

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可以得到一个公式:数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度) 

我们会发现,这个公式有点眼熟,是与斐波那契序列的公式有点像。

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从这里我们就来分析一下nh跟斐波那契序列的有什么关系。

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在数学上,有一个公式: 数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度)

 当i逐步增大时,大致等于公式算出来的值。

且是一个指数函数。

根据我们上面分析出来的和的关系,就可以代入得到的相关公式。

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所以反过来我们就得到h的表达式:

用自己的想法把他推一遍:

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综上所述,我们可以得到结论:

给定结点数为n的AVL树的最大高度为


end 


学习自:MOOC数据结构——陈越、何钦铭 

 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-425653.html

 

 

 

 

 

 

 

到了这里,关于数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度)的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

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