数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度)

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度)。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

目录

基本介绍

平衡因子

平衡二叉树 

平衡二叉树的高度 


基本介绍

什么是平衡二叉树?

以一个例子来解释一下:

搜索树结点按不同的插入次序,将会导致不同的深度和平均查找长度ASL

数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度)

数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度)

数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度) 

在二叉搜索树中查找一个元素: 

(a)要找到Jan,需要查找一次;要找到Feb,需要查找两次;

要找到Mar,也需要查找两次......要找到Nov,需要查找六次。

把所有查找次数加起来,再除以12,

得到平均查找长度:ASL(a) = ( 1 + 2 * 2 + 3 * 3 + 4 * 3 + 5 * 2 + 6 * 1 ) / 12 = 3.5

(b)要找到July,需要查找一次;要找到Feb,需要查找两次;

要找到May,也需要查找两次......要找到Sept,需要查找四次。

算出平均查找长度:ASL(b) = (1 + 2 * 2 + 3 * 4 + 4 * 5) / 12 = 3.0

(c)要找到Apr,需要查找一次;要找到Aug,需要查找两次......

要找到Sept,需要查找十二次。

算出平均查找长度:ASL(c) = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12) / 12 = 6.5 

 通过上面的例子,我们可以看到方式b的平均查找长度最短,在观感上结点的分布也比较均匀。

所以二叉树,我们要求比较平衡,才能够让查找的长度更短一些。

而如何衡量一颗二叉树平衡不平衡呢?

  1. 是左右两边的结点数差不多
  2. 是左右两边的高度差不多

这样我们就认为基本上平衡,即为平衡二叉树。

平衡因子

平衡因子(Balance Factor,简称BF):

BF(T) = -, 其中和分别为T的左、右子树的高度。

平衡二叉树 

平衡二叉树(Balanced Binary Tree) (AVL树)

空树,或者任一结点左、右子树高度差的绝对值不超过1,即

下面来判断一下以下几颗二叉树是否为平衡二叉树:

(1)

数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度)

(2)

数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度) 

(3) 

数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度)

 先来看第一棵二叉搜索树:

数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度)

再来看第二棵二叉搜索树:

数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度) 

最后看第三棵二叉搜索树:

数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度) 

平衡二叉树的高度 

我们要二叉树平衡,其目的是为了让二叉树的高度更低一些,

越平衡的二叉树高度就越低。

一棵结点总数为n的完全二叉树高度为 h = log2n,

数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度)

那么平衡二叉树的高度是否能达到呢?

设为 高度为h的平衡二叉树的最少结点数。 结点数最少时: 

数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度)

总结出: 

数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度)

可以得到一个公式:数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度) 

我们会发现,这个公式有点眼熟,是与斐波那契序列的公式有点像。

数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度)

从这里我们就来分析一下nh跟斐波那契序列的有什么关系。

数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度) 

在数学上,有一个公式: 数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度)

 当i逐步增大时,大致等于公式算出来的值。

且是一个指数函数。

根据我们上面分析出来的和的关系,就可以代入得到的相关公式。

 数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度)

所以反过来我们就得到h的表达式:

用自己的想法把他推一遍:

数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度)

综上所述,我们可以得到结论:

给定结点数为n的AVL树的最大高度为


end 


学习自:MOOC数据结构——陈越、何钦铭 

 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-425653.html

 

 

 

 

 

 

 

到了这里,关于数据结构和算法学习记录——平衡二叉树(基本介绍、平衡因子、平衡二叉树的定义、平衡二叉树的高度)的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处: 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请点击违法举报进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

领支付宝红包 赞助服务器费用

相关文章

  • 数据结构和算法学习记录——初识二叉树(定义、五种基本形态、几种特殊的二叉树、二叉树的重要性质、初识基本操作函数)

    目录 二叉树的定义 二叉树具体的五种基本形态 1.空树 2.只有一个节点 3.有左子树,但右子树为空 4.有右子树,但左子树为空  5.左右两子树都不为空 特殊二叉树 斜二叉树 满二叉树  完全二叉树 二叉树的几个重要性质 初识二叉树的几个操作函数  二叉树T: 一个有穷的节点

    2024年02月03日
    浏览(60)
  • 学习高级数据结构:探索平衡树与图的高级算法

    🎉欢迎来到数据结构学习专栏~学习高级数据结构:探索平衡树与图的高级算法 ☆* o(≧▽≦)o *☆嗨~我是IT·陈寒🍹 ✨博客主页:IT·陈寒的博客 🎈该系列文章专栏:数据结构学习 📜其他专栏:Java学习路线 Java面试技巧 Java实战项目 AIGC人工智能 数据结构学习 🍹文章作者技

    2024年02月09日
    浏览(45)
  • 数据结构-----平衡二叉树

      目录 前言 1.平衡二叉树 1.1概念与特点 1.2与二叉排序树比较 1.3判断平衡二叉树 2.平衡二叉树的构建 2.1平衡因子 BF 2.2 LL型失衡(右旋) 2.3 RR型失衡(左旋) 2.4 LR型失衡(先左旋再右旋)  2.5 RL型失衡(先右旋再左旋) 2.6构建平衡二叉树代码实现  3.删除节点操作 3.1删除叶

    2024年04月13日
    浏览(32)
  • 【数据结构】平衡二叉树

    需要云服务器等云产品来学习Linux的同学可以移步/--腾讯云--/--阿里云--/--华为云--/官网,轻量型云服务器低至112元/年,新用户首次下单享超低折扣。   目录 一、平衡二叉树的介绍 二、平衡二叉树的插入 1、平衡二叉树的插入步骤 2、平衡二叉树的旋转 2.1左单旋 2.2右单旋 2

    2024年02月03日
    浏览(84)
  • 数据结构之平衡二叉树的平衡调整

    1:LL型调整 2:RR型调整 3:LR型调整 4:RL型调整 5:总结 作者约定:将导致不平衡的结点称作 被破坏者 ,破坏了结点的平衡的结点成为 破坏者 ,经过调整可以让该树平衡的结点称为 调整结点 。 LL型不平衡调整方法:以调整结点为中心,进行右旋操作,就可以使树平衡。

    2024年02月09日
    浏览(44)
  • 数据结构:搜索二叉树 | 平衡二叉树

    博客写的代码都放在这里:gitee仓库链接 1.二叉搜索树 1.1.基本概念 二叉搜索树又称二叉排序树, 可以为空,如果不为空具有以下性质的二叉树 : 若它的左子树不为空,则左子树上所有节点的值都小于根节点的值 若它的右子树不为空,则右子树上所有节点的值都大于根节点的

    2024年01月23日
    浏览(54)
  • 数据结构之二叉树和平衡二叉树

    1、二叉树: 2、平衡二叉树:

    2024年04月17日
    浏览(44)
  • 数据结构之平衡二叉树详解

    平衡二叉树(balanced binary tree) 又称AVL树(Adelson-Velskii and Landis) 一棵平衡二叉树或者是空树,或者是具有下列性质的 二叉排序树 :         1,左子树与右子树的高度之差的绝对值小于等于1;         2,左子树和右子树也是平衡二叉排序树. 为了方便起见,给每

    2024年02月03日
    浏览(40)
  • 【数据结构】二叉排序树——平衡二叉树的调整

    参考视频: 懒猫老师-数据结构-(59)平衡二叉树【互动视频】 (1)什么是平衡二叉树 平衡二叉树(Balanced Binary Tree)是一种特殊的二叉查找树,它的目的是保持树的高度尽量平衡,以保证查找、插入、删除等操作的时间复杂度为 O(log n)。 常见的平衡二叉树算法包括 AVL 树、红

    2024年02月04日
    浏览(38)
  • 数据结构奇妙旅程之二叉平衡树

    ꒰˃͈꒵˂͈꒱ write in front ꒰˃͈꒵˂͈꒱ ʕ̯•͡˔•̯᷅ʔ大家好,我是xiaoxie.希望你看完之后,有不足之处请多多谅解,让我们一起共同进步૮₍❀ᴗ͈ . ᴗ͈ აxiaoxieʕ̯•͡˔•̯᷅ʔ—CSDN博客 本文由xiaoxieʕ̯•͡˔•̯᷅ʔ 原创 CSDN 如需转载还请通知˶⍤⃝˶ 个人主页:xiaoxieʕ̯

    2024年03月11日
    浏览(57)

觉得文章有用就打赏一下文章作者

支付宝扫一扫打赏

博客赞助

微信扫一扫打赏

请作者喝杯咖啡吧~博客赞助

支付宝扫一扫领取红包,优惠每天领

二维码1

领取红包

二维码2

领红包