数学建模:人口增长模型
模型目标:
通过给定的一组人口增长数据,预测后续的人口增长情况.
一、指数增长模型
假设增长率不变:
若已知人口年增长率为r,今年人口为
x
0
x_0
x0,预测k年后的人口可以用简单的公式得到:
x
k
=
x
0
(
1
+
r
)
k
x_k = x_0(1+r)^k
xk=x0(1+r)k
*以美国人口为例,数据点取下表:
用matlab输入好数据:
p = [3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 92 105.7 122.8 131.7 150.7 179.3 203.2 226.5 248.7 281.4];
该公式得到的人口增长模型如下图(matlab作图):
选取的增长率0.2与实际的人口数据点贴合度差,于是进一步建立模型,找到偏差更小的增长率r
精确化增长率r
把人口看作关于时间的可微函数
x
(
t
)
x(t)
x(t),记
x
(
0
)
=
x
0
x(0) = x_0
x(0)=x0
r
x
0
rx_0
rx0 即为单位时间
x
(
t
)
x(t)
x(t) 的增长量
所以得到微分方程:
d
x
d
t
=
r
x
,
x
(
0
)
=
x
0
\frac{dx}{dt} = rx , x(0)=x_0
dtdx=rx,x(0)=x0
解得:
x
(
t
)
=
x
0
e
r
t
x(t) = x_0e^{rt}
x(t)=x0ert
上述公式即位指数增长模型
数据拟合:
接下来对指数增长模型的参数进行估计,即数据拟合
·法一
用人口数据和线性最小二乘法,对上式取对数:
y
=
r
t
+
a
,
y
=
l
n
x
,
a
=
l
n
x
0
y = rt +a , y=lnx,a=lnx_0
y=rt+a,y=lnx,a=lnx0
用matlab进行编程拟合:
%取1790年为t=0,数据点取到2000年
t=0:10:210;
lnp = log(p);
cftools
解得:
r
=
0.202
,
x
0
=
e
1.8
=
6.049
r = 0.202,x_0 = e^{1.8} = 6.049
r=0.202,x0=e1.8=6.049
带入得
x
(
t
)
=
6.049
e
0.0202
t
x(t) = 6.049 e^{0.0202t}
x(t)=6.049e0.0202t
·法2
对人口数据做数值微分,计算平均值r‘,x0直接选用原始数据.
函数在各点的近似导数值为(数值微分中点公式):
x
′
(
t
k
)
=
x
k
+
1
−
x
k
−
1
2
Δ
t
,
(
k
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,
n
−
1
)
x'(t_k) = \frac{x_{k+1}-x_{k-1}}{2\Delta t},\\\ \\(k=1,2,3,...,n-1)
x′(tk)=2Δtxk+1−xk−1, (k=1,2,3,...,n−1)
x
′
(
0
)
=
4
x
1
−
3
x
0
−
x
2
2
Δ
t
,
x
′
(
n
)
=
−
4
x
n
−
1
+
3
x
n
+
x
n
−
2
2
Δ
t
x'(0) = \frac{4x_1-3x_0-x_2}{2 \Delta t}, x'(n) = \frac{-4x_{n-1}+3x_{n}+x_{n-2}}{2 \Delta t}
x′(0)=2Δt4x1−3x0−x2,x′(n)=2Δt−4xn−1+3xn+xn−2
那么增长率为:
r
(
t
k
)
=
x
′
(
t
k
)
x
(
t
k
)
r(t_k)=\frac{x'(t_k)}{x(t_k)}
r(tk)=x(tk)x′(tk)
*公式相关推导可参考数值计算方法 第六章 数值积分和数值微分
增长率
r
k
=
x
′
(
t
k
)
x
(
t
k
)
r_k=\frac{x'(t_k)}{x(t_k)}
rk=x(tk)x′(tk)再取平均值得到r = 0.0205
改进的指数增长模型
上述模型对于增长率r不变的假设导致预测曲线与实际偏差较大
所以改进模型中假设 r 为 t 的函数
r
(
t
)
r(t)
r(t) , 根据上述法2的
x
′
(
t
)
x'(t)
x′(t) 画r—t图像:
r=[];
for i=1:22
if i == 1
r(i)=(4*p(i+1)-3*p(i)-p(i+2))/(20*p(i));
elseif i == 22
r(i)=(-4*p(i-1)+3*p(i)+p(i-2))/(20*p(i));
else
r(i)=(p(i+1)-p(i-1))/(20*p(i));
end
end
plot(t,r,'.','MarkerSize',20);
ylim ([0.005,0.04]);
xlabel('t');
ylabel('增长率r');
根据散点图假设
r
(
t
)
=
r
0
−
r
1
t
r(t)=r_0-r_1t
r(t)=r0−r1t的线性函数,用最小二乘法线性拟合得到:
r
0
=
0.03252
,
r
1
=
0.0001143
r_0 = 0.03252,\space r_1 = 0.0001143
r0=0.03252, r1=0.0001143
根据微分方程:
d
x
/
d
t
=
r
(
t
)
x
dx/dt=r(t)x
dx/dt=r(t)x
⇒
x
(
t
)
=
x
0
e
(
r
0
t
−
r
1
t
2
/
2
)
\Rightarrow x(t) = x_0 e^{(r_0t-r_1t^2/2)}
⇒x(t)=x0e(r0t−r1t2/2)
把拟合后的参数带入:
xt2 = 3.9.*exp(0.03252.*t-0.0001143.*t.^2./2);
plot(t,xt2,'LineWidth',1);
最终根据改进模型预测的2010年人口为290million,与实际数据281.4吻合度较高.显然改进后的模型优于前两者.
二、logistic模型
改进的指数增长模型中增长率线性下降,但没有体现其下降的相关影响因素,只是以时间为变量.logistic模型考虑了自然资源,环境等对人口增长的阻滞作用.文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-426744.html
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