华中科技大学《计算机图形学》课程
MOOC地址：计算机图形学（HUST）
计算机图形学 | 变换与观察
6.1 神奇的齐次坐标
回顾几何阶段
整体流程：
这其中存在3种变换：
- 坐标系的变换
- 模型本身的运动
- 观察者的运动
几何变换
以上各种变换都可以通过以下变换的复合来计算：
- 平移
- 比例
- 旋转
- 对称
- 错切
图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形。
下面以二维为例，讲解各个变换。
平移
指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程，是一种不产生变形而移动物体的刚体变换（rigid-body transformation）。
比例
对p点相对于坐标原点沿x方向放缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍。其中Sx和Sy称为比例系数。
旋转
将p点绕坐标原点转动θ角度（逆时针为正，顺时针为负）得到新的点p’的重定位过程。
对称
对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。
错切
也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变形处理。
总结：
齐次坐标的引入
齐次坐标的概念和相关问题
齐次坐标表示就是用n+1维向量表示一个n维向量。
以二维坐标系下点p(4,3)为例：齐次坐标表示为p(hx,hy,hz)，具体可以为P(4,3,1), P(8,6,2)等等。
说明齐次坐标的不唯一性。
规范化齐次坐标表示就是h=1的齐次坐标表示。
规范化的方法：将每一维除以h。
以二维坐标系下点p(4,3)为例：齐次坐标表示为P(4,3,1), P(8,6,2)等等；其中，规范化齐次坐标表示P(4,3,1)；
规范化：将P(8,6,2)规范化只需要对每一维除以h即可。即：P(8/2,6/2,2/2)得到P(4,3,1)。
基于齐次坐标的变换
全部统一为矩阵运算：
其中：
T1是对图形进行比例、旋转、对称、错切等变换；
T2是对图形进行平秱变换；
T3是对图形作投影变换；
T4则可以对图形作整体比例变换。
整体比例变换：
如果有多个点？如果变换多次呢？
-
几何变换均可表示成P’ = P ∙ T 的形式，其中P和P’可以有多行（有几个点对应几行）；
-
如果是多次变换，则T变成多次变换对应矩阵的乘积：
6.2 三维模型，动起来！
基本三维变换
基本的三维变换包括：
- 平移
- 比例
- 旋转
- 对称
- 错切
三维坐标(x,y,z)的齐次坐标表示(hx,hy,hz,h)。
以维坐标系下点p(4,3,2)为例：齐次坐标表示具体可以为P(4,3,2,1), P(8,6,4,2)等，规范化齐次坐标表示为P(4,3,2,1)。
基于三维齐次坐标的变换：
根据T3D在变换中所起的作用，可将T3D分成四个子矩阵：
T1：3×3阶子矩阵，作用是对点进行比例、对称、旋转、错切变换
T2：1×3阶子矩阵，作用是对点进行平移变换
T3：3×1阶子矩阵，作用是进行投影变换
T4：1×1阶子矩阵，作用是进行整体比例变换
平移
指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程，是一种不产生变形而移动物体的刚体变换（rigid-body transformation）。
比例
对p点相对于坐标原点沿x方向放缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍，沿z方向放缩Sz倍。其中Sx、Sy和Sz称为比例系数。
旋转
将p点绕坐标轴转动θ角度得到新的点p’的重定位过程。
正方向如何确定？
按右手定则，规定逆时针为正，顺时针为负。
对称
对称变换后的图形是原图形关于某一轴线、某一坐标平面或原点的镜像。
关于坐标平面：
关于坐标轴：
错切
也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变形处理。
假设有一个x方向上的错切则：x’=x+dy+gz。
整体比例变换
整体比例变换：对p点相对于坐标原点沿x方向放缩S倍。
逆变换
所谓逆变换即是与上述变换过程的相反的变换。
平移的逆变换
平移的逆变换就是反向平移，将平移后的点移回到原处。
其变换矩阵为：
比例变换的逆变换
比例变换的逆变换就是将比例因子取为倒数。
其变换矩阵为：
旋转变换的逆变换
旋转变换的逆变换就是反向旋转，也就是将旋转角度由θ改为- θ。
其变换矩阵为：
复合变换
三维复合变换是指图形作一次以上的变换，变换结果是每次变换矩阵相乘。
相对于任一参考点的变换
相对于参考点F(xf,yf,zf)作比例、旋转、错切等变换的过程分为以下三步：
- 将参考点F移至坐标原点
- 针对原点进行二维几何变换
- 进行反平移
绕任意轴的三维旋转变换
答案将在下一节给出。
6.3 观察者也能动
绕任意轴的三维旋转变换
假设已知空间有任意轴AB，A点的坐标为A(xA,yA,zA)，AB的方向数为(a,b,c)。
现有空间一点p(x, y, z) ，绕AB轴逆时针旋转θ角后成为p’ (x’, y’, z’ ) ，若旋转变换矩阵为TRAB。
则：[x’ y’ z’ 1] = [x y z 1] · TRAB
问题：如何求出TRAB？
步骤：
- 把A点移动到坐标原点
- 把AB轴绕到某个坐标轴上
- 旋转
- 求1、2变换的逆变换，回到AB原来的位置
第一步：把A点移动到坐标原点
第二步：把AB轴绕到某个坐标轴上
绕x轴正转α角，将O’B’转动到XOZ平面上
绕y轴反转β角，将O’B’转动到z轴上
第三步：旋转
此时，AB轴与z‘轴重合，此时绕AB轴的旋转转换为绕z轴的旋转。
绕z轴旋转θ角的旋转变换矩阵为：
第四步：求1、2变换的逆变换，回到AB原来的位置
也就是求 TtA ,TRx ,TRy 的逆变换。
总结：
观察变换
观察变换：从世界坐标系到观察坐标系的转换。
观察坐标系：
坐标原点：观察者所在的位置。
其中：
zv：视点和观察物体上焦点的连线
yv：向上的方向
xv：按照右手定则确定的方向
实际上求什么？
求世界坐标系中点Q(x,y,z)在观察坐标系中的坐标值。
观察变换的实现：
- 平移观察参考点到用户坐标系原点
- 进行旋转变换分别让xv、yv和zv轴对应到用户坐标系中的x、y和z轴。
模型变换与观察变换
观察变换的应用：场景漫游文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-426870.html
模型变换不观察变换具有对偶性。但是由于场景中只有部分物体运动，所以效果不同。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-426870.html
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