方形平板振动克拉尼图形可视化计算MATLAB程序（Chladni Patterns）

0前言

克拉尼图形（Chladni Patterns）是在1787年，由克拉尼首先发现并命名的。他将一个金属薄板中央固定，然后把细沙撒在金属板上，用小提琴摩擦边缘，板子上的细沙便会形成各种不同的图案。

相关的实验非常多，很多科技馆或者大学实验课或者网上视频大家也都接触过。具体原理也不难，就是每种频率下方板的振动模态是固定的，有的地方振动幅度大，有的地方振动幅度小，沙子在不断上下颠的过程中肯定会逐渐往振动小的地方汇集，于是就形成了克拉尼图形。

所以要想数值求解克拉尼图形，最重要的还是要求解出相应的振动方程才行。

本博客将求解方法分为3种，分别对应网上或者论文中常见的求解方式。相应文献这次就不放到前言了，放到后面每一章的开头。

下面的代码涉及到简单的数值分析基础，有些基础知识可能不会详细涉及。

1 数值时域求解

最近解微分方程比较上头，所以这里也顺手写了一个，效率比较低。

参考文献：
[1] 弹性力学（下册）(徐芝纶版) （第十四章：用差分法及变分法解薄板的小挠度弯曲问题）
[2] Abdeljaber O , Rjoub Y A . Free and forced vibration of rectangular plates using the finite difference method[C]// Green Building, Materials and Civil Engineering. 2014.

1.1 方程建立

根据常见的克拉尼图形实验来看，这属于弹性力学里的薄板小变形问题。

薄板静变形方程为：
$${\nabla }^{4}u=\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}+2\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^2\partial y^2}+\frac{{\partial }^{4}u}{\partial y^4}=0$$
其中u为薄板变形位移。当然，本文只考虑垂直于平板表面的位移，其余位移忽略。
再考虑运动，还需要引入时间t和加速度对应的量，方程变为：
$${\nabla }^{4}u+\frac{\rho h}{D}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=0$$
其中$D=E{h}^3/12(1-\mu {)}^2$，E为平板材料的弹性模量，μ为材料的泊松比，ρ为材料的密度，这都是材料属性。h为薄板的厚度。

平板位置为在xy平面的[-L,L]区间上，四周为自由边界条件。
平板中心(0,0)点的位置为固定边界条件，中间固定点位移为已知的余弦函数振动。

为简化计算量，后面1.2节将平板沿x轴和y轴裁剪为1/4对称的小方形，中间设置为对称边界条件。

这种1/4模型简化有一定的问题，比如当平板做非对称振动时就无法模拟，而且Chladni图形的实验中也观察到这种图形。这个在后面第2章和第3章会涉及。

1.2 数值差分方程建立

首先${\nabla }^{4}u$，我们直接采用下面的差分格式：

这里假设dx和dy方向的网格尺寸相同。当然，上面的表达式也并非唯一，这种13点差分格式的优点为结构比较紧凑，用到的点比较少，其余格式也可以自行泰勒展开凑一凑。

时间项由于只有二阶，所以更简单一些：
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}\to \frac{u_{t-2}-2u_{t-1}+u_t}{d{t}^2}$$
之后将上面所有单元的对应的差分方程列出后，将显示时间格式项加入方程中，然后联立这些方程组得到当前时刻的空间u。每个单元格点的方程u表示如下：

$(20+\frac{\rho h}{D}\frac{d{x}^4}{d{t}^2})u_{m,n,t}-8(u_{m-1,n,t}+u_{m+1,n,t}+u_{m,n-1,t}+u_{m,n+1,t})$
$+2(u_{m-1,n-1,t}+u_{m-1,n+1,t}+u_{m+1,n+1,t}+u_{m+1,n-1,t})$
$+(u_{m-2,n,t}+u_{m+2,n,t}+u_{m,n-2,t}+u_{m,n+2,t})$
$=\frac{\rho h}{D}\frac{d{x}^4}{d{t}^2}(2u_{m,n,t-1}-u_{m,n,t-2})$

最终，整理为：
$$K\ast U=F$$
其中U为列向量，由前面网格位置$u_{m,n}$组成，是未知数。K为一个系数方阵，每一行为对应的$u_{m,n}$网格相应的系数。F为每个网格的受力，也是一个列向量。
最终根据K和F，求解线性方程组，就可以求解出网格位置U。

当然，只有方程还是不行的，微分方程另一个老大难就是边界条件（甚至很多问题边界条件比方程本身还难）。

因为前面${\nabla }^{4}u$用的13点差分格式，用到了上下左右向外方向上的2个距离的格点，所以为了能够顺利计算，就需要在平板的边缘外再补2圈虚拟节点。虚拟节点只与平板边缘的边界条件有关，所以时间项也都忽略为0。

首先是对称边界条件，这个很简单，就是沿着对称轴对称就行。下面以左右对称边界条件的格点方程为例：

然后是外侧自由无约束边界条件，第一层虚拟节点可以用内力M=0列方程得到：

对于平板四个角，只用Mx和My不能完全得到对应的方程，还需要引入Mxy=0

平板的角上第一层虚节点还差两个格点没有给出，再根据对称假设，假设沿对角线对称且Mx=My=0，得到：

第二层虚节点，我们用分布反力V=0来列出方程：

第二层虚节点在右上角还有3个节点没有方程涉及到，因为不涉及计算，所以全部强制赋值0即可。

因此，我们便得到了所有网格单元的方程，比如1/4平板网格数为6×6，加上两层虚节点，网格数变为10×10。算上前面列的方程，每个网格点都有一个独立的方程，因此我们便得到了100个线性方程。之后求解这个100个方程KU=F的方程组，就得到每个网格点的位置U。

这一段可能稍微啰嗦一些，但是如果想要动手编程计算的话，还是很难跳过的。

1.3 计算结果

之后是MATLAB计算仿真的结果，为完整展示振动图形，将1/4板做完整对称处理。虚拟节点没有展示。

这里只计算0.03s几个振动周期的平均结果，时间步长为1e-6s，空间网格点为16（对称完后为31个点）。

下图为650hz对应的结果：

黑色越深，代表振幅越小。

下图为792hz对应的结果：

下图为850hz对应的结果：

可以看到振动频率越高，图形越复杂。

这意味着频率越高，需要的空间网格量越大，而且频率越高，需要更小的时间步长。因此这种方法在高频率振动时，不是可行的展示办法。但在低频的时候，还是比较精准的。

代码如下，这里自己添加了一个阻尼项，因为如果不添加，平板振幅会越振越大。

clear
clc
close all

%平板信息
L=0.150;%边长300mm
h=0.001;%厚度10mm
mu=0.33;%泊松比0.33
rho=2.7e3;%板子的密度
E=70e9;%弹性模量
D=E*h^3/12/(1-mu^2);

%振动信息
Amp=0.01;
Freq=650;%频率越高，需要的网格越密。参考Freq=792,N=16。Freq=400,N=8。

%构建网格
dt=1e-6;%时间步长%1000hz的话，就是
N=16;%偶数%网格总数量为N*N，节点数目N+1*N+1
dx=L/N;%网格大小
x=dx*(0:N);

[X,Y]=meshgrid(x,x);%生成方形网格

%列方程组
[Sq,Bq]=Equation_Sq0(N,mu,-Amp);%初始值为-0.1的无外力分布
%已知Sq*U=Bq;%求U的分布，U即是当前平板上每一个点的位移
U0=Sq\Bq;
U1=U0;
U2=U1;

U_Out1=zeros(N+1,N+1);
U_Out2=zeros(N+5,N+5);
U_Save=zeros((N+1)^2,200);t_Save=1;
%计算动态方程
t_start=0;t_end=0.03;%起始时间和终止计算时间
jishu=1;%用于计数的一个变量
N_jishu=(t_end-t_start)/dt;
for t_k=t_start:dt:t_end
    %0点处的运动位置
    u0=Amp*cos(2*pi*Freq*t_k+pi);%以正弦方式运动
    L_Sq=N+5;%实际计算时网格的尺寸（包含外侧扩展的两层）
    if jishu==1%第一步计算，把矩阵Sq计算出来
        [Sq,Bq]=Equation_Sq0(N,mu,u0);%初始值为-0.1的无外力分布
        %补充运动项，把U1，U2代入，计算U3
        for k=1:L_Sq^2
            [r_k,c_k]=ind2sub([L_Sq,L_Sq],k);
            if (r_k>=3 && r_k<=L_Sq-2) && (c_k>=3 && c_k<=L_Sq-2)
                Sq(k,k)=20+rho*h*dx^4/D/dt^2;
                Sq(k,[k+1,k-1,k+L_Sq,k-L_Sq])=-8;
                Sq(k,[k+L_Sq+1,k+L_Sq-1,k-L_Sq+1,k-L_Sq-1])=2;
                Sq(k,[k+2,k-2,k-2*L_Sq,k+2*L_Sq])=1;
                Fd=-100*sign(U2(k)-U1(k))*(U2(k)-U1(k))^2/dt^2;%增加阻尼项
                Bq(k)=dx^4/D*(rho*h/dt^2*(2*U2(k)-U1(k))+Fd);
            end
        end
        %再重新定义一下中心约束点
        Indx_Center=sub2ind([L_Sq,L_Sq],3,3);
        Sq(Indx_Center,:)=0;Sq(Indx_Center,Indx_Center)=1;
        Bq(Indx_Center)=u0; %初始值为-0.1
        %Sq=sparse(Sq);转换为稀疏矩阵的形式，会让计算稍微快一些
    else
        %其余情况Sq矩阵不会变化，所以不用重复计算
        for k=1:L_Sq^2
            [r_k,c_k]=ind2sub([L_Sq,L_Sq],k);%这一块还可以优化，让速度更快一点
            if (r_k>=3 && r_k<=L_Sq-2) && (c_k>=3 && c_k<=L_Sq-2)
                Fd=-100*sign(U2(k)-U1(k))*(U2(k)-U1(k))^2/dt^2;%增加阻尼项
                Bq(k)=dx^4/D*(rho*h/dt^2*(2*U2(k)-U1(k))+Fd);
            end
        end
        Bq(1+2+2*L_Sq)=u0; %固定位置随u0变化
    end
    U3=Sq\Bq;
    %定义前两个时间步长下的位置信息
    U1=U2;
    U2=U3;
    %储存，用作输出用
    U_Out2(:)=U3(:);
    U_Out=U_Out2(3:end-2,3:end-2);


%     if mod(jishu,100)==1
%     figure(1)
%     clf
%     %pcolor(X,Y,U_Out)
%     mesh(X,Y,U_Out)
%     caxis([-0.2,0.2])
%     zlim([-0.2,0.2])
%     colorbar
%     pause(0.1)
%     disp(t_k)
%     end
    jishu=jishu+1;%时间步加一

    %记最后200个数据储存
    if jishu+50*200>=N_jishu
        if mod(jishu,50)==1
            U_Save(:,t_Save)=U_Out(:);
            t_Save=t_Save+1;
        end
    end
end

%取一些特征点，观察计算情况
figure()
hold on
for k=1:size(U_Save,1)
    plot(U_Save(k,:))
end
hold off

%填充对称图形
U_Out_A=U_Out;
U_Out_A(:)=max(U_Save,[],2)-min(U_Save,[],2);
U_Out_A2=[fliplr(U_Out_A(:,2:end)),U_Out_A];
U_Out_A3=[flipud(U_Out_A2(2:end,:));U_Out_A2];


%绘制
figure()
x3=dx*(-N:N);
[X3,Y3]=meshgrid(x3,x3);
mesh(X3,Y3,U_Out_A3)

%插值绘制（网格太稀疏了，绘图效果不好看，还是要插值一下）
xp=dx/2*(-2*N:2*N);
[Xp,Yp]=meshgrid(xp,xp);
F=griddedInterpolant(X3',Y3',U_Out_A3','spline');
U_Out_p=F(Xp,Yp);

figure()
sp=pcolor(Xp,Yp,U_Out_p);
mcp=[[linspace(0,0.5,16)',linspace(0,0.5,16)',linspace(0,0.5,16)'];
    [linspace(0.5,1,32)',linspace(0.5,1,32)',linspace(0.5,1,32)'];
    [1,1,1];[1,1,1]];
colormap(mcp)
sp.FaceColor = 'interp';


function [Sq,Bq]=Equation_Sq0(N,mu,u0)
%N网格数目
%mu泊松比
%u0初始平板位置
%外拓展两圈后平板网格的索引
L_Sq=N+5;
%角落边界点，都设置为0
Point_Corner0=[L_Sq,L_Sq;L_Sq-1,L_Sq;L_Sq,L_Sq-1];
%自由角垂直外边界，共2个
Point_CornerC=[L_Sq-1,L_Sq-2;L_Sq-2,L_Sq-1];
%第一层边界点（非对称）
Point_Out1=[(L_Sq-1)*ones(L_Sq-5,1),(3:L_Sq-3)';...
    (3:L_Sq-3)',(L_Sq-1)*ones(L_Sq-5,1)];
%对角线外边界，共1个
Point_Corner=[L_Sq-1,L_Sq-1];
%第二层边界点
Point_Out2=[L_Sq*ones(L_Sq-4,1),(3:L_Sq-2)';...
    (3:L_Sq-2)',L_Sq*ones(L_Sq-4,1)];
%第一层对称边界
Point_Mirror1=[2*ones(L_Sq-2,1),(3:L_Sq)';...
    (3:L_Sq)',2*ones(L_Sq-2,1)];
%第二层对称边界
Point_Mirror2=[1*ones(L_Sq-2,1),(3:L_Sq)';...
    (3:L_Sq)',1*ones(L_Sq-2,1)];
%左上角对称边界
Point_MirrorC=[1,1;1,2;2,1;2,2];

Sq=zeros(L_Sq^2);
Bq=zeros(L_Sq^2,1);

for k=1:L_Sq^2

    [r_k,c_k]=ind2sub([L_Sq,L_Sq],k);
    %四周边界点
    %四周角落边界点，都设置为0
    if IsRowInRowList(Point_Corner0,[r_k,c_k])
        Sq(k,k)=1;
        Bq(k)=0;
    end
    %自由角垂直外边界
    if IsRowInRowList(Point_CornerC,[r_k,c_k])
        if r_k==2
            Sq(k,k:k+2)=[1,-2,1];
        elseif r_k==L_Sq-1
            Sq(k,k-2:k)=[1,-2,1];
        elseif c_k==2
            Sq(k,[k,k+L_Sq,k+2*L_Sq])=[1,-2,1];
        elseif c_k==L_Sq-1
            Sq(k,[k-2*L_Sq,k-L_Sq,k])=[1,-2,1];
        end
        Bq(k)=0;
        %计算第一层边界点
    elseif IsRowInRowList(Point_Out1,[r_k,c_k])
        if r_k==2 %My=0
            Sq(k,[k+1-L_Sq,k+1,k+1+L_Sq])=[-mu,2+2*mu,-mu];
            Sq(k,k)=-1;Sq(k,k+2)=-1;
        elseif r_k==L_Sq-1 %My=0
            Sq(k,[k-1-L_Sq,k-1,k-1+L_Sq])=[-mu,2+2*mu,-mu];
            Sq(k,k)=-1;Sq(k,k-2)=-1;
        elseif c_k==2 %Mx=0
            Sq(k,[k,k+L_Sq,k+2*L_Sq])=[-1,2+2*mu,-1];
            Sq(k,k+L_Sq-1)=-mu;Sq(k,k+L_Sq+1)=-mu;
        elseif c_k==L_Sq-1 %Mx=0
            Sq(k,[k,k-L_Sq,k-2*L_Sq])=[-1,2+2*mu,-1];
            Sq(k,k-L_Sq-1)=-mu;Sq(k,k-L_Sq+1)=-mu;
        end
        Bq(k)=0;
        %自由角对角线外边界，每个角1个
    elseif IsRowInRowList(Point_Corner,[r_k,c_k])
        if r_k==2 && c_k==2
            Sq(k,[k,k+2*L_Sq+2])=[1,1];
            Sq(k,[k+2,k+2*L_Sq])=[-1,-1];
        elseif r_k==L_Sq-1 && c_k==2
            Sq(k,[k,k+2*L_Sq-2])=[1,1];
            Sq(k,[k-2,k+2*L_Sq])=[-1,-1];
        elseif r_k==2 && c_k==L_Sq-1
            Sq(k,[k,k-2*L_Sq+2])=[1,1];
            Sq(k,[k+2,k-2*L_Sq])=[-1,-1];
        elseif r_k==L_Sq-1 && c_k==L_Sq-1
            Sq(k,[k,k-2*L_Sq-2])=[1,1];
            Sq(k,[k-2,k-2*L_Sq])=[-1,-1];
        end
        Bq(k)=0;
        %4计算第二层边界点
    elseif IsRowInRowList(Point_Out2,[r_k,c_k])
        if r_k==1
            Sq(k,k)=1;
            Sq(k,[k+1-L_Sq,k+1,k+1+L_Sq])=[2-mu,2*mu-6,2-mu];
            Sq(k,[k+3-L_Sq,k+3,k+3+L_Sq])=[mu-2,-2*mu+6,mu-2];
            Sq(k,k+4)=-1;
        elseif r_k==L_Sq
            Sq(k,k)=1;
            Sq(k,[k-1-L_Sq,k-1,k-1+L_Sq])=[2-mu,2*mu-6,2-mu];
            Sq(k,[k-3-L_Sq,k-3,k-3+L_Sq])=[mu-2,-2*mu+6,mu-2];
            Sq(k,k-4)=-1;
        elseif c_k==1
            Sq(k,k)=1;
            Sq(k,[k+L_Sq-1,k+L_Sq,k+L_Sq+1])=[2-mu,2*mu-6,2-mu];
            Sq(k,[k+3*L_Sq-1,k+3*L_Sq,k+3*L_Sq+1])=[mu-2,-2*mu+6,mu-2];
            Sq(k,k+4*L_Sq)=-1;
        elseif c_k==L_Sq
            Sq(k,k)=1;
            Sq(k,[k-L_Sq-1,k-L_Sq,k-L_Sq+1])=[2-mu,2*mu-6,2-mu];
            Sq(k,[k-3*L_Sq-1,k-3*L_Sq,k-3*L_Sq+1])=[mu-2,-2*mu+6,mu-2];
            Sq(k,k-4*L_Sq)=-1;
        end
        Bq(k)=0;
        %计算除边界点外的正常平板上的点
    elseif (r_k>=3 && r_k<=L_Sq-2) && (c_k>=3 && c_k<=L_Sq-2)
        Sq(k,k)=20;
        Sq(k,[k+1,k-1,k+L_Sq,k-L_Sq])=-8;
        Sq(k,[k+L_Sq+1,k+L_Sq-1,k-L_Sq+1,k-L_Sq-1])=2;
        Sq(k,[k+2,k-2,k-2*L_Sq,k+2*L_Sq])=1;
        Bq(k)=0;%dx^4/D*(rho*h/dt^2*(2*0-0));
        %计算对称边界的外插点
    elseif IsRowInRowList(Point_Mirror1,[r_k,c_k])
        if r_k==2
            Sq(k,k)=1;Sq(k,k+2)=-1;
        elseif c_k==2
            Sq(k,k)=1;Sq(k,k+2*L_Sq)=-1;
        end
        Bq(k)=0;
    elseif IsRowInRowList(Point_Mirror2,[r_k,c_k])
        if r_k==1
            Sq(k,k)=1;Sq(k,k+4)=-1;
        elseif c_k==1
            Sq(k,k)=1;Sq(k,k+4*L_Sq)=-1;
        end
        Bq(k)=0;
    elseif IsRowInRowList(Point_MirrorC,[r_k,c_k])
        if r_k==1 && c_k==1
            Sq(k,k)=1;Sq(k,k+4+4*L_Sq)=-1;
        elseif r_k==1 && c_k==2
            Sq(k,k)=1;Sq(k,k+4+2*L_Sq)=-1;
        elseif r_k==2 && c_k==1
            Sq(k,k)=1;Sq(k,k+2+4*L_Sq)=-1;
        elseif r_k==2 && c_k==2
            Sq(k,k)=1;Sq(k,k+2+2*L_Sq)=-1;
        end
        Bq(k)=0;
    end
end
% Sq([32,41,42],:)=[];Bq([32,41,42])=[];
% rank(Sq)%检查是否满秩

%补充两个边界约束（中心点已知，）
%初始已知中心点坐标
Sq(1+2+2*L_Sq,:)=0;Sq(1+2+2*L_Sq,1+2+2*L_Sq)=1;
Bq(1+2+2*L_Sq)=u0; %初始值为-1
end

function TF=IsRowInRowList(List,Point)
TF1=(List(:,1)==Point(1));
TF= any(List(TF1,2)==Point(2));
end

方程建立有几点小的心得体会：
1是要寻找一种让矩阵Sq保持不变的方程形式，这种矩阵在力学求解器或者其它方程求解器中很常见，比如刚度矩阵、气动矩阵等等。
2这里为了方便展示和检查，在代码中把Sq=sparse(Sq);这个注释掉了。实际上Sq矩阵是一个稀疏矩阵，在matlab中转换成稀疏矩阵格式，可以显著的减少内存加速计算。
3方程的建立初期还是比较痛苦的，需要检查是否满秩，约束是否刚好够。比如全模型的方程很容易列出少约束的情况，这时就需要找到哪些方程是重复无用的方程（比如中间固定点旁边的几个点，就可以用对称或反对称边界条件替换原物理方程）。

2 简单的波动解

参考文献：
[1]关于Chladni图案
https://zhuanlan.zhihu.com/p/108448193
[2]Creating Digital Chladni Patterns
https://thelig.ht/chladni/

这里我们做一个大胆的假设，平板上每一个点都在做周期运动sin(wt+k)，而且相位差不多，只是振幅大小不同。

那么，我们不需要知道上一章所列的平板振动方程，也可以大概列出平板方程的通解。

设平板上每一点的振幅为u(x,y,t)，可以表示为：
$$u(x,y,t)=w(x,y)\ast \sin (wt+k)$$
w(x,y)是平板上每个点的振幅。当然后面那个w(频率)和k(相位)我们不关心，因为后面用不到。

如果我们知道每个点对应的振幅，那么振幅等于0的位置就是Chladni图案。所以下一步我们就计算振幅w(x,y)的通解。

现在建立平板模型，设平板的范围为[-0.5,0.5]，中心点为(0,0)。平板的边缘自由振动。

假定w(x,y)是由若干个余弦波叠加而成的。而平板要想形成共振，需要承载较为完整的驻波。所以X方向大致满足条件的解可以有如下的表示方式：
$$X(x)=\cos (n\pi (x-0.5))$$
其中n为方形板上x方向波峰和波谷总和的数量。这里假定平板的边缘在余弦函数的峰或谷上。Y方向同理。

振动时，具体w(x,y)的振幅由当地的X(x)和Y(y)相乘决定，即：
$$\cos (n\pi (x-0.5))\ast \cos (m\pi (y-0.5))$$
n和m不一定相同。因此考虑x和y的对称性，m和n对换的情况也会同时叠加出现。最终振幅w(x,y)的方程为
$$\begin{gathered} w(x,y)=\cos (n\pi (x-0.5))\ast \cos (m\pi (y-0.5)) \\ \pm \cos (m\pi (x-0.5))\ast \cos (n\pi (y-0.5)) \end{gathered}$$
上面式子中正号代表对称图案情况，负号代表反对称图案情况。

最终不同m和n取值下，生成的Chladni图案如下：

根据某些文献中给出的Chladni’s Law，可以根据生成的图案来大概反推频率：
$$f\sim (m+2n{)}^2$$
也就是频率f和(m+2n)的平方成正比。

上图的matlab代码如下：

clear
clc
close all
%绘制所有可能波节的输出结果
N=9;
figure(1)
for m=1:N
    for n=1:N
        %ax=subplot(N,N,N*(m-1)+n);
        dp=1/N;
        ax=subplot('Position',[(m-1)*dp 1-(n-0)*dp 0.9*dp 0.9*dp]);
        
        fun1=@(x,y) cos(n*pi*(x-0.5)).*cos(m*pi*(y-0.5));
        fun2=@(x,y) cos(m*pi*(x-0.5)).*cos(n*pi*(y-0.5));
        fun=@(x,y) fun1(x,y)+sign(m-n)*fun2(x,y);
        fimplicit(fun,[-0.5,0.5])
        ax.XTick=[];
        ax.YTick=[];
    end
end
set(gcf,'position',[100,100,800,600])

3 理论求解

参考文献：
[1]方奕忠, 王钢, 沈韩,等. 方形薄板二维驻波的研究[J]. 物理实验, 2014
[2]Neville H. Fletcher , Thomas D. Rossing .The Physics of Musical Instruments [M] ISBN-13:978-0-387-94151-6
[3]严琪琪, 陈彦, 胡湘. 自由边界条件下方形平板受迫振动模式的探究[J]. 大学物理, 2018

当然，上面的方程还是太过于简化，下面给出了一种能够较好预测出结果的一种理论解方法。下面方程参考参考文献[1]方形薄板二维驻波的研究。（其实[3]自由边界条件下方形平板受迫振动模式的探究 那篇文章的效果看上去更好，但是我没太看懂 (╯°Д°)╯︵┻━┻，先用简单的顶上）。

首先还是需要求解下面这个方程：
$${\nabla }^{4}u+\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=0$$
依然假设方程的解为：
$$u(x,y,t)=w(x,y)\ast \sin (\omega t+k)$$
代入回方程，可以得到关于振幅w(x,y)的方程：
$${\nabla }^{4}w-{\gamma }^{2}w=0$$
在x=0和x=1的边界条件为：
$$\begin{gathered} \frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+\mu \frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}=0 \\ \frac{\partial }{\partial x}(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+(2-\mu )\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2})=0 \end{gathered}$$
在y=0和y=1的边界条件同理，为：
$$\begin{gathered} \frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}+\mu \frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}=0 \\ \frac{\partial }{\partial y}(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}+(2-\mu )\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2})=0 \end{gathered}$$

参考文献[1]的求解过程中也用到了一些简化，解的形式和上一章节比较像。由于本人没有具体实验，所以如何利用频率反推波节这一块，公式精度具体有多少，需要怎样修正，都是未知数。本文也不是论文，就不再做实验验证了。
理论上看该方法在较高频率预测效果应该会比较好。

clear
clc
close all

%绘制理论求解图形
%平板信息
L=0.5;
h=0.001;%厚度1mm
mu=0.33;
rho=2.7e3;%板子的密度
E=70e9;%弹性模量
D=E*h^3/12/(1-mu^2);
c=sqrt(E/rho)*h/sqrt(3)/sqrt(1-mu^2);%计算一个常数
%振动频率
f=1560;
%寻找可能的波节m和n
n_t=round(sqrt(f/pi/c*L^2)-0.5);
n_t1=n_t+(-8:8);
[m_t2,n_t2]=meshgrid(n_t1,n_t1);

MN2Freq=pi/2/L^2*c*((n_t2+0.5).^2+(m_t2+0.5).^2);%已知mn，反推频率的一个公式
[~,Ind_nt2]=sort(abs(MN2Freq(:)-f));
%得到接近当前频率的几组m和n。
[x,y]=meshgrid(0:0.01:L,0:0.01:L);
for k=1:16
    %计算方程的解
    mm=m_t2(Ind_nt2(k));
    nn=n_t2(Ind_nt2(k));
	%得到可能的mm值和nn值，然后计算出bn和bm。
    bn=nn+0.5;
    Ps1_n1=sqrt(2)/2*(exp(-pi*bn*x/L)-(-1)^nn*exp(pi*bn*(x-L)/L));
    Ps1_n2=-sin(pi*bn/L*x-pi/4);
    Ps1_n=Ps1_n1+Ps1_n2;

    bm=mm+0.5;
    Ps1_m1=sqrt(2)/2*(exp(-pi*bm*y/L)-(-1)^mm*exp(pi*bm*(y-L)/L));
    Ps1_m2=-sin(pi*bm/L*y-pi/4);
    Ps1_m=Ps1_m1+Ps1_m2;
	
    Ps1_mn=Ps1_m.*Ps1_n;
    
	%参照上一章，做出x和y交换后的另一组解
    Ps2_n1=sqrt(2)/2*(exp(-pi*bn*y/L)-(-1)^nn*exp(pi*bn*(y-L)/L));
    Ps2_n2=-sin(pi*bn/L*y-pi/4);
    Ps2_n=Ps2_n1+Ps2_n2;

    bm=mm+0.5;
    Ps2_m1=sqrt(2)/2*(exp(-pi*bm*x/L)-(-1)^mm*exp(pi*bm*(x-L)/L));
    Ps2_m2=-sin(pi*bm/L*x-pi/4);
    Ps2_m=Ps2_m1+Ps2_m2;
    Ps2_mn=Ps2_m.*Ps2_n;
    
	%绘图
    figure(1)
    subplot(4,4,k)
    contour(Ps1_mn+Ps2_mn,1)
end

当频率等于1560hz时，比较可能的几组解如下：

当频率等于2340hz时，比较可能的几组解如下：
文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-427168.html

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