最小二乘法求解圆方程圆形及半径-Toy模板网

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ci最小二乘法定义（摘抄于百度百科）：

最小二乘法求解圆方程圆形及半径

基本思路（摘抄于百度百科）：

最小二乘法求解圆方程圆形及半径

简单的来说，最小二乘法为一类线性算法，将需要求解的系数当作未知数，f(x)与x当作已知数，通过多组对应关系求得系数的方法。

所以，最小二乘法仅适合 $最小二乘法求解圆方程圆形及半径$ 系数为一次项方程式

例如： $最小二乘法求解圆方程圆形及半径$ ，k与b作为系数是可通过最小二乘法求的

而：，A作为系数，是不可通过最小二乘法求得的

理论过程：

当圆心为（0,0），半径为r时，可得圆的方程式为：

$最小二乘法求解圆方程圆形及半径$

令圆心为(h,k)时，

圆方程为： $最小二乘法求解圆方程圆形及半径$

这是在连续数据的情况下，我们将其代入离散数据点的情况：

圆方程为： $最小二乘法求解圆方程圆形及半径$

展开式为： $最小二乘法求解圆方程圆形及半径$

为了简化方程式，令 $最小二乘法求解圆方程圆形及半径$

则方程为： $最小二乘法求解圆方程圆形及半径$

既误差函数为： $最小二乘法求解圆方程圆形及半径$

对误差函数的二次进行求导，已知E=0，既误差函数的二次方对任何数求导均为0:

所以：

推得：

$最小二乘法求解圆方程圆形及半径$ $最小二乘法求解圆方程圆形及半径$

$最小二乘法求解圆方程圆形及半径$

展开并化简得：

$最小二乘法求解圆方程圆形及半径$

系数放等号左边，常数放等号右边

$最小二乘法求解圆方程圆形及半径$

使用矩阵表示既为

其中

、、

$最小二乘法求解圆方程圆形及半径$

求解矩阵方程既可得到圆心(h,k)

$最小二乘法求解圆方程圆形及半径$

可以利用克莱姆求解矩阵方程

解得：

、、

此方法和推导同样适合多项式方程、椭圆方程等，这边不再做详细介绍

MATLAB代码（为MATLAB R2022版本下.mlapp回调代码）：

            [file,path] = uigetfile;
            if isempty(file)
                return;
            end 
            if ~contains(file,'.csv')
                msgbox("请确定选择文件为<.csv>文件后重试！")
                return;
            end
            filepath=strcat(path,file);
            LineData=readtable(filepath);
            LineAll=table2array(LineData);
            LineX=LineAll(:,1);
            Liney=LineAll(:,2);

            nSum=0;
            XSum=0;
            YSum=0;
            XYSum=0;
            X2Sum=0;            
            Y2Sum=0;

            X2YSum=0;
            XY2Sum=0;
            X3Sum=0;
            Y3Sum=0;


            N=size(LineX);
          
            for i=1:N
                nSum=nSum+1;
                XSum=XSum+LineX(i);
                YSum=YSum+Liney(i);
                XYSum=XYSum+LineX(i)*Liney(i);
                X2Sum=X2Sum+LineX(i)*LineX(i);
                Y2Sum=Y2Sum+Liney(i)*Liney(i);

                X2YSum=X2YSum+LineX(i)*LineX(i)*Liney(i);
                XY2Sum=XY2Sum+LineX(i)*Liney(i)*Liney(i);
                X3Sum=X3Sum+LineX(i)*LineX(i)*LineX(i);
                Y3Sum=Y3Sum+Liney(i)*Liney(i)*Liney(i);
            end 
            
            C11=2*X2Sum;
            C12=2*XYSum;
            C13=-1*XSum;
            C21=2*XYSum;
            C22=2*Y2Sum;
            C23=-1*YSum;
            C31=2*XSum;
            C32=2*YSum;
            C33=-1*nSum;

            R1=X3Sum+XY2Sum;
            R2=X2YSum+Y3Sum;
            R3=X2Sum+Y2Sum;
            
            M1=[C11,C12,C13;
                C21,C22,C23;
                C31,C32,C33;];

            M2=[R1;R2;R3];

            M3=M1\M2;

            A=M3(1);
            B=M3(2);
            R=sqrt((A^2+B^2-M3(3)));
            Resultstring=strcat("圆心(",num2str(A),",",num2str(B),")","半径：",num2str(R));
            msgbox(Resultstring);

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