一、形式记号
1.定义
若是β在基下的坐标，则β可以形式地记作：
之所以称之为形式记号，是因为此处的α可以是多项式、列向量、矩阵等可以定义运算的表达式而不仅仅是实数。
2.例题
设线性无关，并且有：，现有命题如下：
命题p：线性无关；命题q：A是可逆矩阵
证明p、q两命题等价。
先证明p是q的充分条件：
使用反证法
设A是不可逆矩阵，则存在向量X不为零向量，使得AX=0 成立，此时将等式两边同乘该向量X，可以得到：
而β是线性无关的，所以假设不成立，A是可逆矩阵。
再证明p是q的必要条件：
使用反证法
设β是线性相关的，则存在不全为零的列向量X使得βX=0成立。此时如果将等式两边同乘该向量X，可以得到：
由于α线性无关，所以AX=0成立，而A是可逆矩阵，所以得到X=0，这与X是不全为零的列向量矛盾，所以假设错误，即β线性无关。
证毕
二、过渡矩阵
1.定义
设和都是向量空间V的基，并且 成立
则称A是从基α到β的过渡矩阵
根据上面的例题，过渡矩阵一定是可逆的。
2.性质
1.如果从α到β的过渡矩阵是A，则从β到α的过渡矩阵是A的逆矩阵。
2.如果从基α到β的过渡矩阵是A，且从β到γ的过渡矩阵是B，则从基α到γ的过渡矩阵是AB。
三、子空间
1.定义
设V是数域F上的线性空间，W是V的非空子集，若W关于V的运算也构成F上的线性空间，则称W是V的子空间，记作。
此处需要注意，判定W是否在数域F上构成线性空间时，应该沿用线性空间V中定义的运算。
判定时理论上需要满足加法和数乘的封闭性以及关于子空间的八条定理，但实际上只要验证封闭性、零元素存在和相反元素存在即可。
我们将仅含零元素的空间和V本身称为V的平凡子空间。
2.两类重要子空间
1.设,，称V是齐次线性方程组的解空间。
2.设V是F上的线性空间，，集合。
称W是由生成的子空间，是其生成元，记作：
关于第二类子空间的推论：
1.若，则
2.与等价
3.的极大无关子组是的基，故
3.例题
设，证明：是的子空间，并求W的一组基。
可以将A拆分成，则对X的约束即变为满足：
此处假设，
根据约束条件可知，参数需要满足：
a = d; b = 0
所以W中元素可以表示为：
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所以得到W的一组基是：文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-428667.html
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