6.10 谱分解

计算方法

  单纯矩阵normal matrix指的是符号$A^{T}A=A{A}^T$的矩阵，他们的特征值互异。此外，单纯矩阵还有个特点，他们的特征空间彼此正交。
  对于单纯矩阵，存在以下的谱定理Spectral theorem：

单纯矩阵可以分解为以下矩阵相加的形式：
$$A=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i{v}_i^H$$
公式中，$v_i$是特征值${\lambda }_i$对应的单位特征向量。

  把矩阵分解为这种形式就是谱分解Spectral Decompostion。所以谱分解挺容易的，求出特征值和特征向量就行了。
  以下是一个矩阵谱分解的例子：
( 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 − 2 0 0 0 0 − 1 ) = 3 ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) + 2 ( 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) − 2 ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ) − ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix}3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ \end{pmatrix}\\ = 3 \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}+2 \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} -2 \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} ​3000​0200​00−20​000−1​ ​=3 ​1000​0000​0000​0000​ ​+2 ​0000​0100​0000​0000​ ​−2 ​0000​0000​0010​0000​ ​− ​0000​0000​0000​0001​ ​

代码实现

  特征值可以用海森堡法求解，特征向量可以用齐次方程组求解的方法求得，最后注意单位化就行了。以下是python代码：文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-429644.html

    # 谱分解
    def spectral_decomposition(self):
        # 求特征值
        from com.youngthing.mathalgorithm.linearalgebra.hessenberg import Matrix as M
        eigen_values = M(self.__vectors).eigen_values()
        spectral_matrices = []
        for i, e in enumerate(eigen_values):
            # 单纯矩阵的几何重数为1
            eigen_vector = self.eigen_vector(e)[0]

            vector_len = Matrix.vector_len(eigen_vector)
            eigen_vector = matrix_utils.mul_num(eigen_vector, 1 / vector_len)
            x = Matrix([eigen_vector])
            spectral_matrices.append(x * x.transpose_matrix())
        return eigen_values, spectral_matrices

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