自动控制原理笔记-根轨迹法

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目录

一,根轨迹的基本概念

1.根轨迹的基本概念

2.根轨迹方程

3.根轨迹方程的应用 

二,根轨迹的绘制规则

【规则一】根轨迹有n条分支:

【规则二】根轨迹对称于实轴:

【规则三】根轨迹的起点和终点:

【规则四】实轴上的根轨迹:

【规则五】根轨迹的渐近线:

【规则六】根轨迹的分离、会合点:

【规则七】出射角(起始角)和入射角(终止角):

【规则八】根轨迹与虚轴的交点:

【规则九】根之和与根之积: 

小   结 :

三,系统零极点分布与响应的关系     

闭环极点对系统阶跃响应的影响:

闭环零点对系统阶跃响应的影响:

闭环偶极子:

四,利用根轨迹解决工程问题

一、求控制参数(增益)的稳定边界

二、使系统具有单调过渡过程的增益范围:

三、满足调整时间要求的控制参数(增益):

四、满足超调量要求的系统增益:

五,广义根轨迹

一、参数(量)根轨迹的绘制:

二、零度根轨迹:

六,根轨迹校正

一、根轨迹的改造:

二、根轨迹校正反馈系统 


一,根轨迹的基本概念

       1.根轨迹的基本概念

闭环传递函数决定控制系统的性能:

定性(闭环极点位于s左半平面)速性(动态性能:取决于闭环极点和零点)确性(静态误差:取决于型别、开环增益和输入)

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高阶系统的闭环极点难以计算,因此需要探索不求解高阶代数方程,也能确定系统的 闭环特征根(闭环极点) 、进而分析系统闭环动态特性的有效方法。
根轨迹法 (Root locus method): 利用控制系统的 开环极点 求其 闭环极点 的一种作图法
自动控制原理笔记-根轨迹法
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根轨迹: 系统中某个参量由零到无穷大变化时,其闭环极点在 s 平面上移动的 轨迹
根轨迹法: 不用求解闭环特征方程,而利用开环零极点求出闭环极点的轨迹,研究系统性能的方法。
自动控制原理笔记-根轨迹法根轨迹法的特点 1 )图解法,形象、直观; 2)近似方法。3)适合研究某一参数变化时系统的性能。

2.根轨迹方程

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3.根轨迹方程的应用 

1. 根据角条件绘制根轨迹(充要条件)

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2. 根据模条件确定根轨迹增益

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二,根轨迹的绘制规则

        在根轨迹图中,“   ”表示开环极点,“   ”表示开环零点。粗实线表示根轨迹,箭头表示参数增加的方向。

【规则一】根轨迹有n条分支:

        n阶实系数代数方程在复数域有n个根,因此n系统的根轨迹有n条分支。


【规则二】根轨迹对称于实轴:

        实系数的闭环特征(代数)方程的根必对称于实轴。


【规则三】根轨迹的起点和终点:

        根轨迹方程为:

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亦称系统n-m个无限远零点。有限值零点加无穷远零点的个数等于极点数(=根轨迹条数=系统阶次n


【规则四】实轴上的根轨迹:

若实轴上某一线段的右边,开环零点和开环极点的数目之和为奇数odd则该线段为根轨迹的一部分。

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实轴上某一线段的右边,开环零点和开环极点的数目之和为奇数,则该线段为根轨迹的一部分。


【规则五】根轨迹的渐近线:

k→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹趋向无穷远的方向由渐近线决定。

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 【规则六】根轨迹的分离、会合点:

        不同的根轨迹分支在s平面上相交的点,称为根轨迹的分离、会合点

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        分离、会合点的求法:

        ①求导法:根轨迹在实轴上的分离、会合点表示这些点是闭环特征方程的重根点。        

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注意:由上式可求得的点是分离、会合点必要条件,还需求出这些点对应的增益,若增益为大于零的实数,则所求出的点为分离、会合点。

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        ②工程法:

        自动控制原理笔记-根轨迹法

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定理:当系统有2个开环极点、 1个或2个开环零点,并且在复平面上有根轨迹时,则复平面上的根轨迹一定是以零点为圆心的圆弧


【规则七】出射角(起始角)和入射角(终止角):

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 【规则八】根轨迹与虚轴的交点:

根轨迹和虚轴相交时,闭环特征方程有一对共轭纯虚根,系统处于临界稳定状态。这时的增益  称为临界根轨迹增益

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【规则九】根之和与根之积: 

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        自动控制原理笔记-根轨迹法


小   结 :

需掌握绘制根轨迹的九条规则:
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三,系统零极点分布与响应的关系     

        控制系统的闭环极点、零点与系统的稳定性及动态性能有密切关系。闭环零点与开环零点相同,闭环极点由根轨迹方程表示出来。

闭环极点对系统阶跃响应的影响:

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单位阶跃响应为:

自动控制原理笔记-根轨迹法

   响应输出为叠加而成的信号,与 模态、分量大小 有关。

1)稳定性:sj应位于s左半平面;

2)快速性:极点尽可能远离虚轴;

3)平稳性:振荡要小,接近最佳阻尼比;

4)利用闭环主导极点进行高阶系统的近似处理;

5)闭环零点可以削弱其附近闭环极点对系统的影响(对应的留数小)。


闭环零点对系统阶跃响应的影响:

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闭环偶极子:

闭环偶极子:复平面上很接近的一对闭环零极点

相对于其他零极点,相互距离在1/10以下的一对闭环偶极子对系统响应的影响可以忽略。

自动控制原理笔记-根轨迹法

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四,利用根轨迹解决工程问题

一、求控制参数(增益)的稳定边界

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二、使系统具有单调过渡过程的增益范围:

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三、满足调整时间要求的控制参数(增益):

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 四、满足超调量要求的系统增益:

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利用根轨迹解决工程问题,实际上是根据系统性能指标的要求,求出主导极点在s平面的分布区域


五,广义根轨迹

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一、参数(量)根轨迹的绘制:

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绘制参数根轨迹,需由系统的闭环特征方程导出一个新的等效开环传递函数Go1(s)。 在Go1(s)中,可变参数的位置与常规根轨迹中的根增益 k 位置相同


二、零度根轨迹:

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零度根轨迹的绘制规则:

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六,根轨迹校正

一、根轨迹的改造:

1、增加开环零点对根轨迹的影响:

      1)改变了根轨迹在实轴上的分布;

      2)改变了渐近线的条数、与实轴的交点、夹角;

      3)可以抵消对系统不利的闭环极点(构成偶极子)

      4)根轨迹左移(零点要适当),对稳定性有利;


2、增加开环极点对根轨迹的影响

      1)改变了根轨迹的条数;

      2)改变了根轨迹在实轴上的分布;

      3)改变了渐近线的条数、与实轴的交点、夹角;

      4)根轨迹右移(极点要适当),对稳定性不利;


3、 增加开环偶极子对根轨迹的影响

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二、根轨迹校正反馈系统 

step: 1)暂态性能指标→期望的闭环主导极点;

            2)绘制原系统的根轨迹,确定是否增加校正装置;

            3)校正后系统根轨迹通过期望闭环主导极点,检验开环比例系数是否满足静态指 标(否则,增加开环偶极子以改善之)

            4)检验暂、静态指标。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-429771.html

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