正定矩阵
在线性代数里，正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。
广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有
z
⃗
T
M
z
⃗
>
0
\vec{z}^TM\vec{z}>0
zTMz>0，则称M为正定矩阵。
狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有
z
⃗
T
M
z
⃗
>
0
\vec{z}^TM\vec{z}>0
zTMz>0。
- 若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵
- 若A是正定矩阵，则存在实可逆矩阵C使得 A = C T C A=C^TC A=CTC
矩阵的1/2次方
求矩阵A的1/2次方的前提是A为正定阵，这时A一定相似于主对角元素都为正数的对角阵，也就是说：存在可逆阵P，使得 P − 1 A P = Λ = d i a ( λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ) P^{-1}AP=Λ=dia(λ_1,λ_2,...,λ_n) P−1AP=Λ=dia(λ1,λ2,...,λn)是对角阵。取 B = P ⋅ d i a g ( λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ) P − 1 B=P·diag(\sqrt{λ_1},\sqrt{λ_2},...,\sqrt{λ_n})P^{-1} B=P⋅diag(λ1,λ2,...,λn)P−1，则 B 2 = A B^2=A B2=A，即 B = A 1 / 2 B=A^{1/2} B=A1/2。
矩阵的-1/2次方
同上，再对 B 1 / 2 B^{1/2} B1/2求逆。
拉普拉斯矩阵
拉普拉斯矩阵(Laplacian matrix) 也叫做导纳矩阵、基尔霍夫矩阵或离散拉普拉斯算子，主要应用在图论中，作为一个图的矩阵表示。
D:度矩阵，A:邻接矩阵，L:拉普拉斯矩阵
Combinatorial Laplacian:
L
=
D
−
A
L = D - A
L=D−A
图神经网络中常用的是正则化拉普拉斯矩阵 Symmetric normalized Laplacian：
L
=
D
−
1
/
2
L
D
1
/
2
L = D^{-1/2}LD^{1/2}
L=D−1/2LD1/2，这种代数形式和原本形式的区别是相当于做了一个归一化处理，具体到元素是(拉普拉斯矩阵的元素级的定义)：
随机游走归一化拉普拉斯矩阵 Random walk normalized Laplacian
L
r
w
=
D
−
1
L
L^{rw}=D^{-1}L
Lrw=D−1L
为什么GCN要用拉普拉斯矩阵？
(1)拉普拉斯矩阵是对称矩阵，可以进行特征分解（谱分解）；
(2)拉普拉斯矩阵只在中心顶点和一阶相连的顶点上(1-hop neighbor)有非0元素，其余之处均为0；
(3)通过拉普拉斯算子与拉普拉斯矩阵进行类比。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-430210.html
- L是半正定矩阵（每个特征值 λ i ≥ 0 \lambda_i\geq0 λi≥0）
- L的每一行每一列的和为0
- L的最小特征值为0。
Reference
1.图神经网络——(2)图卷积神经网络
2. 拉普拉斯算子和拉普拉斯矩阵
3. 理解图的拉普拉斯矩阵
4. GNN入门之路: 01.图拉普拉斯矩阵的定义、推导、性质、应用
5. 图谱论学习—拉普拉斯矩阵背后的含义文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-430210.html
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