线性方程组的系数矩阵是n阶方阵
- 齐次方程组： A x = 0 Ax=0 Ax=0
| 系数矩阵 A n × n A_{n×n} An×n的秩 | 解的个数 |
|---|---|
| 满秩： r ( A ) = n r(A)=n r(A)=n | 仅有零解 |
| 不满秩： r ( A ) = r < n r(A)=r<n r(A)=r<n | 有无穷多解 |
注：
- 齐次线性方程 A x = 0 Ax=0 Ax=0 一定有解.
- 当 r ( A ) = r < n r(A)=r<n r(A)=r<n 时，基础解系（线性无关的解向量）的个数为： n − r n-r n−r .
- A x = 0 Ax=0 Ax=0 的通解结构： k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + . . . + k n − r ξ n − r k_1\xi_1+k_2\xi_2+...+k_{n-r}\xi_{n-r} k1ξ1+k2ξ2+...+kn−rξn−r .
- 非齐次方程组： A x = b Ax=b Ax=b；增广矩阵： A ‾ = [ A ∣ b ] \overline{A}=[A|b] A=[A∣b]
| 系数矩阵 A n × n A_{n×n} An×n的秩与增广矩阵 A ‾ n × n + 1 \overline{A}_{n×n+1} An×n+1的秩 | 解的个数 |
|---|---|
| 满秩： r ( A ) = r ( A ‾ ) = n r(A)=r(\overline{A})=n r(A)=r(A)=n | 有唯一解 |
| 不满秩①： r ( A ) = r ( A ‾ ) = r < n r(A)=r(\overline{A})=r<n r(A)=r(A)=r<n | 有无穷多解 |
| 不满秩②： r ( A ) + 1 = r ( A ‾ ) r(A)+1=r(\overline{A}) r(A)+1=r(A) | 无解 |
注：
- 当 r ( A ) = r ( A ‾ ) = r < n r(A)=r(\overline{A})=r<n r(A)=r(A)=r<n 时，基础解系的个数为： n − r n-r n−r，设其特解为 η \eta η .
- A x = b Ax=b Ax=b 的通解结构： η + k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + . . . + k n − r ξ n − r \eta+k_1\xi_1+k_2\xi_2+...+k_{n-r}\xi_{n-r} η+k1ξ1+k2ξ2+...+kn−rξn−r .
线性方程组的系数矩阵是 m × n m×n m×n阶矩阵
- 齐次方程组： A x = 0 Ax=0 Ax=0
| 系数矩阵 A m × n A_{m×n} Am×n的秩 | 解的个数 |
|---|---|
| 行满秩： r ( A ) = m r(A)=m r(A)=m | 有无穷多解 |
| 列满秩： r ( A ) = n r(A)=n r(A)=n | 只有零解 |
| 行列都不满秩： r ( A ) = r r(A)=r r(A)=r | 有无穷多解 |
注：
- 行满秩为行向量组线性无关.
- 列满秩为列向量组线性无关.
- 非齐次方程组： A x = b Ax=b Ax=b；增广矩阵： A ‾ = [ A ∣ b ] \overline{A}=[A|b] A=[A∣b]
| 系数矩阵 A m × n A_{m×n} Am×n的秩与增广矩阵 A ‾ m × n + 1 \overline{A}_{m×n+1} Am×n+1的秩 | 解的个数 |
|---|---|
| r ( A ) = r ( A ‾ ) r(A)=r(\overline{A}) r(A)=r(A) | 有解 |
| r ( A ) = r ( A ‾ ) = n r(A)=r(\overline{A})=n r(A)=r(A)=n | 有唯一解 |
| r ( A ) = r ( A ‾ ) = m < n r(A)=r(\overline{A})=m<n r(A)=r(A)=m<n | 有无穷多解 |
| r ( A ) = r ( A ‾ ) = r < n r(A)=r(\overline{A})=r<n r(A)=r(A)=r<n | 有无穷多解 |
| r ( A ) + 1 = r ( A ‾ ) r(A)+1=r(\overline{A}) r(A)+1=r(A) | 无解 |
注：
- 当 r ( A ) = r ( A ‾ ) r(A)=r(\overline{A}) r(A)=r(A) 时， b b b可由列向量组线性表出，方程组有解.
- 当行满秩时，必有解.
小结
在考试中通常会给出复杂的向量组 A A A，求解的个数。或者给出解的类型，求向量组的相关性。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-430278.html
主要找向量组 A A A的列向量的线性相关性。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-430278.html
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