讨论行列式的几何意义

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先给结论:行列式是线性变化的伸缩因子

 给定一个二阶行列式:

由行列式的计算方法可得:

 矩阵可表示为二维空间上的两个向量和,这两个向量可以组成一个平行四边形。

下面证明

(平行四边形)

由:

三角形的面积公式:               

 得: 

平行四边形的面积为:                                                                        

由: 

 内积计算公式:讨论行列式的几何意义

讨论行列式的几何意义

讨论行列式的几何意义

讨论行列式的几何意义

讨论行列式的几何意义

 将代入平行四边形的面积公式得:

由此可以把二阶行列式理解为将面积为1的正方形伸缩变换为面积为的平行四边形(或者说D为矩阵对应的线性变换前后的面积比)正负号表示伸缩变换的方向。三阶行列式可理解为将体积为1的正方体伸缩变化为体积为的六面体。

        各轴之间的顺序要求符合右手法则,即以右手握住Z轴,让右手的四指从X轴的正向以90度的直角转向Y轴的正向,这时大拇指所指的方向就是Z轴的正向。这样的三个坐标轴构成的坐标系称为右手空间直角坐标系.与之相对应的是左手空间直角坐标系.一般在数学中更常用右手空间直角坐标系 。

 因此可证明以下结论:

1.行列式与其转置行列式相等,即。

由于转置只会改变图形位置,而不会改变面积,所以

 2.对调两行(或列)行列式改变符号。

对调行或列表示将坐标轴对调,方向相反,所以会改变符号

 3.行列式某行(或列)有公因子,可以提取到行列式的外面。

将某个向量扩大(或缩小)n倍,它与其它向量所组成的平行四边形的面积也会扩大(或缩小)n倍

4.若行列式某行或列元素全为0,则该行列式值为0。 

一个向量为零,另一个向量无法围成平行四边形,因而不能算面积

5.若行列式某两行(或列)元素相同,则行列式值为0。 

6.若行列式某两行(或列)元素对应成比例,则行列式值为0。

5和6都表示两个向量重合,其余向量无法围成封闭图形,因而不能算面积(或体积)

7.行列式某行(或列)的每个元素皆为两数之和,行列式可分解为两个行列式之和。

即: 

讨论行列式的几何意义

可理解为将一次伸缩变化分解为两次伸缩变化。 

8.行列式的某行(或某列)的倍数加到另一行(或列)行,列式不变。 

由向量性质可证。


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