从线性代数的视角看线性方程组
求解方程 A x ⃗ = v ⃗ \mathbf A\vec x=\vec v Ax=v首先说明系数矩阵的行数和列数的意义：
- 对于系数矩阵 A \mathbf A A，其行数代表方程个数，列数代表未知量个数
- 对于系数矩阵
A
\mathbf A
A，矩阵对应线性变换
矩阵行数代表变换后的基向量、 x ⃗ \vec x x和 v ⃗ \vec v v等向量的坐标分量数，也就是这些向量所处空间的维度；
（上面说过，若有 r o w row row行，则列空间必为 R r o w \mathbf R^{row} Rrow的子空间，因为 r o w row row个分量最多只能描述 r o w row row维空间中的向量） - 列数代表列向量/变换后的基向量个数（然而这些基向量可能是线性相关的）
下面进一步展开说明，并从线性代数的视角看线性方程组
线性方程组的数学意义
从矩阵向量乘法看问题：
A
x
⃗
=
v
⃗
\mathbf A\vec x=\vec v
Ax=v相当于用向量
x
⃗
\vec x
x提供的系数对矩阵
A
\mathbf A
A的列向量做线性组合
线性方程组的几何意义
A
x
⃗
=
v
⃗
\mathbf A\vec x=\vec v
Ax=v的几何意义是，已知一个线性变换
A
\mathbf A
A，我们要寻找一个向量
x
⃗
\vec x
x，使之在变换后与向量
v
⃗
\vec v
v重合；
或者说，在
A
\mathbf A
A的列空间（线性变换后的新的向量空间）中，寻找合适的”坐标“，对应于向量
v
⃗
\vec v
v
方程有解的条件：
对于
A
x
⃗
=
v
⃗
\mathbf A\vec x=\vec v
Ax=v，若向量
v
⃗
\vec v
v位于矩阵
A
\mathbf A
A的列空间内，那么方程就有解；否则方程无解
- 线性变换不压缩空间时，即矩阵满秩，即 d e t ( A ) ≠ 0 det(\mathbf A)\neq 0 det(A)=0，方程组存在唯一解（因为线性变换在同一维度下进行，变换前后的向量一一对应，确定变换后的向量 v ⃗ \vec v v，也就确定变换前的向量 x ⃗ \vec x x）
具体如何求解：
d e t ( A ) ≠ 0 det(\mathbf A)\neq 0 det(A)=0时逆矩阵 A − 1 \mathbf A^{-1} A−1存在
方程两边同乘 A − 1 \mathbf A^{-1} A−1即可求解方程： x ⃗ = A − 1 v ⃗ \vec x=\mathbf A^{-1}\vec v x=A−1v
其几何意义是，从 v ⃗ \vec v v开始“”倒带“，进行逆变换并跟踪 v ⃗ \vec v v的动向，最终可以得到初始的 x ⃗ \vec x x
-
线性变换会压缩空间时（如：平面变为线），即矩阵不满秩，即
d
e
t
(
A
)
=
0
det(\mathbf A)=0
det(A)=0，方程不一定有解；
如果向量 v ⃗ \vec v v恰好处于被压缩后的空间（列空间）内，解存在；否则无解
之前通过逆矩阵 A − 1 \mathbf A^{-1} A−1求解方程；
而在这种情况下，不存在逆矩阵 A − 1 \mathbf A^{-1} A−1
其几何意义是，不存在逆变换能将一条线”解压缩“为一个平面（这样必将出现单个输入对应多个输出，这不符合函数映射的定义）
矩阵的零空间/解空间/核
对于方程 A x ⃗ = v ⃗ \mathbf A\vec x=\vec v Ax=v，列空间关注系数矩阵 A \mathbf A A，而零空间关注解向量 x ⃗ \vec x x
矩阵的零空间(Null Space)/核(Kernal)：
- 经过线性变换后，将会落在原点/零向量的向量的集合
- 方程 A x ⃗ = 0 ⃗ \mathbf A\vec x=\vec 0 Ax=0的所有解向量 x ⃗ \vec x x构成的集合
- 零空间也叫解空间，即齐次线性方程组所有解向量构成的集合
ps. 与之前同理，如果向量 x ⃗ \vec x x有 n n n个分量，那么零空间一定是 R n \mathbf R^n Rn的子空间
零空间和线性无关性、秩结合在一起考虑：
矩阵的零空间只有0点（方程
A
x
=
0
\mathbf A \boldsymbol x=\boldsymbol 0
Ax=0有唯一零解，没有非零解）
⟺
\iff
⟺矩阵列满秩（线性变换没有压缩空间）
⟺
\iff
⟺所有列向量线性无关
后面将会看到，方程消元后，给出了列相关性/秩/零空间（基础解系）等所有信息
零空间几何意义：考虑3x3矩阵，线性变换后空间维度被压缩的情况
- 矩阵满秩，不管变换如何，原点仍落在原点（线性变换保证原点位置不变），零空间为一个点
（零空间也是线性空间，零空间必然包含零向量 0 ⃗ \vec 0 0） - 矩阵秩为2，则有一条线上的向量将被压缩到零向量位置，与之重叠，则零空间为一条线
- 矩阵秩为1，则有一个平面上的向量将被压缩到零向量位置，与之重叠，则零空间为一个平面
另外，从零空间的思路出发，对于 v ⃗ \vec v v不是零向量的一般情况，我们也更能理解为什么有时方程的解不唯一：空间被压缩时，大量的高维度的向量被压缩到低维度空间中的同一个向量 v ⃗ \vec v v的位置，它们有可能是一条线/一个平面…文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-430760.html
当然，和零空间不同，此时所有的解向量 x ⃗ \vec x x的集合就一定不是一个向量空间，原因很简单：这些解中一定不包含零向量 0 ⃗ \vec 0 0，也就是说，此时的解的集合是不经过原点的直线/平面
这也是为什么解空间（这个向量空间）仅仅是指齐次线性方程组所有解向量构成的集合，而非齐次线性方程组的解的集合，不能称为”“文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-430760.html
总结
- 每个齐次线性方程组都对应一个线性变换 A x ⃗ = v ⃗ \mathbf A\vec x=\vec v Ax=v
- d e t ( A ) ≠ 0 det(\mathbf A)\neq 0 det(A)=0时，这个变换不会压缩空间，则解为 x ⃗ = A − 1 v ⃗ \vec x=\mathbf A^{-1}\vec v x=A−1v
-
d
e
t
(
A
)
=
0
det(\mathbf A)= 0
det(A)=0时，这个变换会压缩空间，不一定有解；
具体的，仅当 v ⃗ \vec v v位于矩阵 A \mathbf A A的列空间内（ v ⃗ \vec v v是在同维度/同二维平面or一维直线内的可能的输出），解存在 - 当
v
⃗
\vec v
v是零向量，零空间给出方程所有可能的解
从零空间的思路出发，我们也更能理解为什么有时方程的解不唯一
到了这里，关于线性代数学习笔记4-1：线性方程组的数学和几何意义、零空间/解空间/核的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
