SI，SIS，SIR，SEIRD模型-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了SI，SIS，SIR，SEIRD模型。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

SI，SIS，SIR，SEIRD模型

因为个人工作需要系统地整理SI，SIR以及SEIR模型，故对三个模型进行原理介绍以及对比。文中关于SI，SIS，SIR的所有的截图都来自西工大肖华勇老师在慕课上的分享，原视频戳这里。SEIRD模型则来自发表在SCI上的paper，想看原文戳这里。

SI model

作为比较古早的传染病模型（不对指数模型进行介绍），SI model在假设人口总数不变（不发生迁移，出生及死亡）的情况下，将人群分为易感人群S（suspectible）和病人I（Infective），在时刻 $t$ 下，这两类人群的占比分别为 $s (t)$ 和 $i (t)$ ，并假设病人每天有效接触的平均人数为 $\lambda$ 。当I类人群与S类人群进行接触，S被感染，转为I类人群。
So，每个病人每天可以感染的人数为 $\lambda \cdot s(t)$ ，共有 $\cdot i(t)$ 个病人，故每天总感染人数为 $\lambda \cdot s(t) N \cdot i(t)$
SI，SIS，SIR，SEIRD模型

由图3可得，SI模型中新增病人数量在 $i = 1/2$ 时增速最大，带入公式（6）可得 $t_m$ 为该模型适用于不可治愈传染病。

SIS model

和SI模型不同，SIS模型假设病人治好后变成健康者，健康者可以再次被感染成为病人。相比与SI模型， SIS模型增加条件为：每天被治愈的病人数占病人总数的比例为一个常数 $\mu$ ，称 $\mu$ 为日治愈率，病人治愈后仍可被感染。 $\frac{1}{\mu}$ 为平均感染期。如 $\mu = 0.2$ 时，该疾病的日治愈率为 $\%$ ，平均感染期为5天。
SI，SIS，SIR，SEIRD模型
得其增速曲线和函数曲线分别为

$\sigma>1$ 代表每天传染的人数大于治愈的人数， $\sigma \leq 1$ 则相反。SIS的模型曲线表明，当每天传染的人数大于治愈人数时（ $\sigma>1$ ），不论初始状态下病人的人数是否大于 $1-\frac{1}{\sigma}$ ，最终感染的人数都趋于定值；当 $\sigma \leq 1$ 时，所有人都会被治愈。显而易见， $\sigma$ 在其中起关键作用。

SIR model

SIR考虑三种人群状态：S 类人群，易感人群；I 类人群，感染者；R 类人群，康复者，指的是感染者成功治愈，有免疫力的健康者。
SI，SIS，SIR，SEIRD模型

由该图可得，SIR模型中病人最终全被治愈/移除，健康的易感者保持大于 $5\%$ 的比例。该图由matlab绘制，具体参数如下：

其中病人初始占比为0.1，易感者为0.9。
在这里要说明的是，大部分论文在使用SIR模型时，传染率和治愈率是呈1.5倍的关系，即传染率比治愈率等于1.5，而治愈率由图中的拓扑结构决定，与肖老师在PPT中所展示的图有所不同。所以大部分论文在使用SIR模型时，得出的结论是图中感染者的数量最终会达到一个稳定状态（如下图所示），即趋于定值。
SI，SIS，SIR，SEIRD模型

SEIRD model

受新冠疫情的启发，相对于SIR模型，该模型多了潜伏期（E），死亡（D）。
SI，SIS，SIR，SEIRD模型
参数 $\gamma$ 反映了估计的病程时间, $\gamma \in [\frac{1}{18},\frac{1}{5}]$ 。
参数 $\sigma$ 反映了该疾病的估计潜伏期, $\sigma\in[\frac{1}{5},\frac{1}{3}]$ .
参数 $\beta$ 反映了感染者与他人互动的速率。它通常被写成 $\beta =R_0 \gamma$ ，其中 $R_0$ 称为基本复制数，表示疾病的传染速度。Liu等人（2020）回顾了关于covid-19r0估计的文献，得出结论，文献中的平均和中位数估计约为3，但在最新的文献中，有人认为5.7更合理。
参数 $\alpha$ 为infection fatality rate（IFR）死亡率，一般情况下 $\alpha$ 是变化的，在本文中作者认为 $\alpha$ 为定值。
参数 $\lambda$ 为真实报道中感染新冠病毒的人数占比，为定值。
模型初始化阶段为 $D (0) = 0, R (0) = 0, C (0) = 0, S (0) = N - E (0) - I (0) - R (0) - D (0) = N - E (0) - I (0)$ 。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-431230.html