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第五章 相似矩阵及二次型
&2)方阵的特征值与特征向量
&3)相似矩阵
第五章 相似矩阵及二次型
&2)方阵的特征值与特征向量
定义6:设A是n阶矩阵,如果数𝛌和n维非零列向量x使关系式
Ax=𝛌x(1)
成立,那么,这样的数𝛌称为矩阵A的特征值,非零向量x称为A的对应于特征值𝛌的特征向量
(1)式也可写为
(A-𝛌E)x=0
这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式
|A-𝛌E|=0
特征值的性质:
设n阶矩阵A=a[I][j]的特征值为𝛌[1],𝛌[2],…,𝛌[n]
(i)𝛌[1]+𝛌[2]+…+𝛌[n]=a[1][1]+a[2][2]+…+a[n][n]
(ii)𝛌[1]𝛌[2]…𝛌[n]=|A|
定理2 设𝛌[1],𝛌[2],…,𝛌[m]是方阵A的m个特征值,p[1],p[2],..,p[m]依次是与之对应的特征向量,如果𝛌[1],𝛌[2],…,𝛌[m]各不相等,则p[1],p[2],..,p[m]线性无关
推论 设𝛌[1],𝛌[2]是方阵A的两个不同特征值,𝜉[1],𝜉[2],...,𝜉[s]和𝜂[1],𝜂[2],…,𝜂[t]分别是对应于𝛌[1]和𝛌[2]的线性无关的特征向量,𝜉[1],𝜉[2],...,𝜉[s],𝜂[1],𝜂[2],…,𝜂[t]线性无关
&3)相似矩阵
定义7:设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使
P^-1AP=B
则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似,对A进行运算P^-1AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵
定理3 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B特征值也相同
推论:若n阶矩阵A与对角阵
相似,则𝛌[1]𝛌[2]…𝛌[n]即是A的n个特征值
定理4 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量
推论 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等,则A与对角阵相似(如果特征值相等,也可能A与对角阵相似,看这个相等的特征值对应的特征向量,如果一共有n个特征向量,A与对角阵相似(特征向量就是基础解系))
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