期望值、方差和标准差分别描述了什么？-Toy模板网

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补充：
《程序员的数学2概率统计》一书中1.3章节。
将概率问题比喻成了一个个平行世界的组合，使用希腊字母小写 $\omega$ 表示具体每一个世界，使用希腊字母大写 $\Omega$ 表示所有平行世界组成的大集合。
$\Omega$ 的子集A（如果不习惯这个词，可以理解为 $\Omega$ 中的区域A）的面积将由 $P (A)$ 表示。

期望值

简单来说，对于取值不确定的随机值，将其可能的平均值称为期望值，值的分散情况称为方差。

随机变量记为 $X$ ，期望值记为 $E [X]$ 。

假设有A、B、C三种情况，概率分别 $\dfrac{1}{6}$ ， $\dfrac{1}{3}$ ， $\dfrac{1}{2}$ ，三种情况的概率之和为1（实际全部情况的概率之和为1），现在将ABC三种情况理解为一个正方形中的三个区域。不同的概率分别是各自的面积大小，而正方形整体的面积为1。
假设A区域的随机数=5，B区域的随机数=2，A区域的随机数=1，将每个区域出现的值作为高度绘图，就可以得到如下快状体。
期望值、方差和标准差分别描述了什么？
将上图右侧块状体的体积称为期望值，记为 $E [X]$ 。则期望值的计算过程如下

$5*\dfrac{1}{6}+2*\dfrac{1}{3}+1*\dfrac{1}{2} = 2$

将期望值理解为所有平行世界的平均值。通过雪国的故事或许可以帮助读者理解这个概念。假设 $\Omega$ 国有A、B、C三个省份，各省的面积分别为 $\dfrac{1}{6}$ ， $\dfrac{1}{3}$ ， $\dfrac{1}{2}$ ，全国的总面积为1。某一天， $\Omega$ 国下雪了，A、B、C省的积雪分别是5m、3m、1m。现在想要计算全国的平均积雪情况。也就是说，如果将学铺满整个国家后积雪将有多深呢？答案是 $E (X)$ ，则 $E (X)$ 的计算如下

$\dfrac{5*\dfrac{1}{6}+2*\dfrac{1}{3}+1*\dfrac{1}{2}}{1} = 2$

方差和标准差

方差即“期望值离散程度”的期望值

假设随机变量 $X$ 的期望值 $E[X]=\mu$ 。习惯上，随机值 $X$ 以大写字母表示，它的期望值 $\mu$ 是一个定值，因此用小写字母表示。

由于 $X$ 是个一个随机变量，因此即使它的期望值为 $\mu$ ，也不表示它的值就一定等于 $\mu$ 。为此，需要计算它的实际取值 $x$ 与 $\mu$ 的差距。
测量的方式有很多。 $|x-\mu|$ 可能是最为直观的方法，但是在实际计算时，绝对值的存在会带来诸多不便。于是人们通常使用偏差的平方 $(x-\mu)^2$ 而非绝对值来解决这个问题。

如果 $X$ 的取值正巧为 $\mu$ ， $(x-\mu)^2$ =2
否则 $(x-\mu)^2>0$
且 $x$ 与 $\mu$ 的偏差越大， $(x-\mu)^2$ 的值也越大，即数据也就越分散。

这些性质非常否和离散的程度。
不过，由于 $X$ 是一个随机值，直接计算 $(x-\mu)^2$ 得到的也将是一个随机值，而我们希望得到的是一种固定指标，因此需要进一步计算它的期望值 $E[(x-\mu)^2]$ ，来消除随机性。用这种方式得到的“离散程度的期望值”称为方差(variance)，记为 $V [X]$ 或 $Va r [X]$ 。