前言：本来我并不认为时间复杂度和空间复杂的有多重要，只要日常会判断和分析算法的复杂度即可，但是，不论是在考研的数据结构与算法中，还是在日常的刷题中，我们都会见到，限制我们时间和空间复杂度的算法设计问题，这对我们要求就高了，所以，我们需要做到的不仅仅是了解，更要会用会判断，从而才能自己设计出符合题目需求的算法。
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目录
1.时间复杂度
1.1时间复杂度的概念
1.2 大O的渐进表示法
1.3常见时间复杂度计算举例
实例1（简单遍历）：
实例2（冒泡排序）：
实例3（二分查找）：
实例4（递归阶乘）：
实例5（递归斐波那契）：
2. 空间复杂度
实例1(迭代斐波那切）：
实例2（递归阶乘）：
实例3(递归斐波那契）：
3.总结提炼
常见时间复杂度的比较
4.金句频道
1.时间复杂度
1.1时间复杂度的概念
简单来说，时间复杂度计算的是算法中的操作次数，包括循环，运算等操作，我们来看一个例子
实例1：
// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i)
{
for (int j = 0; j < N; ++j)
{
++count;
}
}for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
}
经过计算，上面的操作次数为N^2+2*N+10，
1.2 大O的渐进表示法
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
4、在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
使用大O的渐进表示法以后，上述Func1的时间复杂度为：O（N^2)
1.3常见时间复杂度计算举例
实例1（简单遍历）：
// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );
该函数是在字符串里查找一个字符，我们一般会认为时间复杂度为程序的最差执行情况，所以，当待查找元素在字符串尾部或者没有该字符，查找次数就是O(N)，N为字符串的长度,相当于我们遍历了整个字符串。
实例2（冒泡排序）：
// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i - 1] > a[i])
{
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
冒泡排序的原理是每一次将待排序序列的最大值“沉到”最后的位置上去，在下一次比较时，我们就可以只比较前N-1个元素，以此类推，知道还是两个元素就可以比较完成了，可以看出，我们第一次需要操作N次，第二次就变成了N-1次，再到N-2次......，我们可以看出操作次数符合等差数列，所以我们可以根据等差数列前n项和推算出时间复杂度为O(N^2)，注意这里不要看到两层for循环误以为是N！，我们的第一层for循环是起到对第二层for循环进行限制的。
实例3（二分查找）：
// 计算二分查找的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a,int l,int r,int x)
{
if (l > r)
return -1;
else
{while (l <= r)
{
int mid = (l + r) >> 1;//右移1相当于除2
if (a[mid] == x)
return mid;
else if (a[mid] < x)
l = mid + 1;
else
r = mid - 1;
}
}
return -1;
}
实例4（递归阶乘）：
// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if (0 == N)
return 1;
for (int i = 0; i < N; i++)
{
...
}
return Fac(N - 1) * N;
}
递归的特征就是代码很简单，过程却较为复杂，我们来用图结构进行展示：
实例5（递归斐波那契）：
// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
if (N < 3)
return 1;return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}
针对该函数，我们计算操作次数就变成了计算函数调用次数，我们来给出结构图：
2. 空间复杂度
空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法，我们也是采用和时间复杂的类似的渐进取法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因 此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。
实例1(迭代斐波那切）：
// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
if (n == 0)
return NULL;long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i)
{
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
}
return fibArray;
}
此处用的迭代算法，只有函数内部开辟的n+1个空间是在函数内部的空间消耗，所以空间复杂度为O(N).
实例2（递归阶乘）：
// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if (N == 0)
return 1;return Fac(N - 1) * N;
}
这里就要涉及函数栈帧的创建和销毁的知识了，我们知道，函数的调用都是要临时创建栈帧的，栈帧会消耗堆栈的空间，但是我们要注意一个细节点，就是我们的第一个函数栈帧调用结束销毁后，第二个函数可以在第一个函数的位置处进行函数栈帧的开辟，也就是说，假设有两个函数调用并返回，总的空间复杂度并不是两者空间复杂度之和。
但是在这里，我们还用不到这个，这个函数还不涉及到函数栈帧的销毁与再开辟，我们阶乘函数是在上一个函数内部直接创建下一个函数的栈帧，不断重复此过程，直到递归结束，然后开始由内而外地一层一层的销毁栈帧，过程中栈帧的开辟是逐层累加上去的，并不涉及到销毁后的再开辟，所以，我们的空间复杂的就是函数的调用次数，即O(N)。
实例3(递归斐波那契）：
哎嘿~真正的重头戏在这呢，
// 计算斐波那契递归Fib的空间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
if (N < 3)
return 1;return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}
答案是不是就是上面我们算的函数的调用次数O(2^N）呢？且听我细细道来~~~
递归调用的过程其实是结合深度优先搜索（俗称dfs）来实现的，就是说递归一旦开始就要一直向前进行下去，直到到达结束条件处，然后再逐渐回溯查找上一层的其他的值，
我们以Fib(4)处的函数调用为例来说明：
采用画图的模式模拟函数栈帧的创建和销毁，来方便理解，
3.总结提炼
时间复杂度的计算要根据实际情况，计算的是操作的次数，空间复杂度计算的是空间的消耗量，包括动态的内存开辟等方式开辟的空间等，注意函数栈帧的问题，临时变量的空间复杂的是O(1)的，最重要的是，时间不能在利用，而空间可以重复使用，在计算设计函数递归调用时要注意分析。
常见时间复杂度的比较
O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<O(n!)
4.金句频道
在事情还没成功之前，不要跟任何人谈及任何有关的计划和想法。世界不会在意你的自尊，只是你的成就。在你没有成功之前，切勿强调自尊。
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