嵌入式开发--无刷电机学习2--克拉克变换

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克拉克变换

首先说明,有很多方法,在数学上是等价的,比如3+3+3+3=3*4=12。下面说的事情也是。

为了更简明的控制,克拉克女士提出电机控制简化的方法,即建立一个坐标系,横轴是α 纵轴是β,并将三相电流在这个坐标轴上投影,用两个正交分布的投影代替。并描述二者之间的关系,从而得出任意时刻的iα和iβ。

其物理意义是用两个正交分布的线圈(分别放在α轴和β轴上),去模拟三相电机120度分布的三个线圈。这二者在数学上是等价的。如此可以简化控制流程。
在实际驱动电机的时候,只需要求一个逆解即可驱动电机。
嵌入式开发--无刷电机学习2--克拉克变换
投影方式如下,将A相的磁场方向与 iα重合,并画出B相和C相的电流矢量如下图:
嵌入式开发--无刷电机学习2--克拉克变换

绿色线段是ib和ic在iα轴上的投影,蓝色线段是ib和ic在iβ轴上的投影。
对于Iα轴来说,最终的值就是Iα = ia - bα - cα
对于Iβ轴来说,最终的值就是Iβ = bβ - cβ (aβ没有,是因为此时ia在iβ轴上的投影是0)

当不考虑方向,只考虑长度时,
bα = ib * sin30 = 0.5 * ib
cα = ic * sin30 = 0.5 * ic
bβ = ib * sin60 = (√3)/2 * ib
cβ = ic * sin60 = (√3)/2 * ic

代入到前式,得克拉克变换公式
Iα = ia - 0.5ib - 0.5ic
Iβ = (√3)/2 * ib - (√3)/2 * ic

写成矩阵就是
嵌入式开发--无刷电机学习2--克拉克变换

基尔霍夫定律

	假设进入某节点的电流为正值,离开这节点的电流为负值,则所有涉及这节点的电流的代数和等于零
	换个说法,即任意时刻,流入的电流等于流出的电流,这两个值大小相等,方向相反。

设A相电流为电流流入ia=1A,则根据基尔霍夫定律,B相和C相流电流为 ib = -0.5 和 ic = -0.5 ,代入公式,得
Iα = 1 - 0.5*(-0.5)- 0.5*(-0.5) = 1.5 = 1.5
Iβ = 0
显然Iα与ia不是相等的,为了后续计算更加方便,我们将Iα与ia对应起来,即给ia乘以一个系数: 2/3, 这样这两个值就相等了。
Iα = ia
Iβ = ((√3)/2 * ib - (√3)/2 * ic) * 2 / 3 = (ib - ic) / √3

写成矩阵就是
嵌入式开发--无刷电机学习2--克拉克变换
这个也叫克拉克变换的等幅形式。
由于Iα和Iβ,与Uα和Uβ是一回事,也就是说Uα = 2/3 * U,这个在后面的SVPWM中要用到。

上面的公式还可以进一步化简,由于ia + ib + ic = 0,则ic = - ia - ib,将其代入Iβ = (ib - ic) / √3
整理得
Iα = ia
Iβ = (2*ib + ia) / √3

如此可以消去C相的电流,只用AB两相的电流即可控制电机,对于电路设计来说,不需要对C相进行电流采样,也就意味着降低了成本。

克拉克等幅值逆变换

将公式中的第一行代入第2行,并解出ib,ic,即是克拉克逆变换
ib = (√3Iβ - Iα) / 2
由于ia + ib + ic = 0,则
ic = (- Iα - √3
Iβ) / 2

最后合并列出
ia = Iα
ib = (√3 * Iβ - Iα) / 2
ic = (- Iα - √3 * Iβ) / 2

ia,ib,ic即是我们最后控制电机时所驱动的电流,那么我们只需要知道Iα和Iβ即可控制电机。这两个量描述的其实就是定子产生的磁场的矢量,因为磁场等于电流乘以电感,而电机的相电感又是可以预先知道的值,所以控制了相电流,也就是控制了定子产生的磁场。

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