【数学建模】模拟退火全解析-Toy模板网

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模拟退火理论（SA——Simulated Annealing）

和局部束搜索相反，模拟退火将最优化策略改变，引入随机噪声，不一定每次都是最优，但是内部机制保证了最终的走向是最优，总的过程可以理解为初期广泛探索（Exploration），逐步过渡到深挖（Exploitation）。其中机理比较复杂，我们逐步去理解。

基本思路

【数学建模】模拟退火全解析
首先声明，我们这里还是要将函数优化到最大，如果要优化最小，符号都要变。

所谓退火就是从高温逐步降温的过程。在这个过程中，初期高温，状态容易改变，不稳定，后期低温，状态稳定。我们模拟退火中进行随机变化的概率就和温度有关。这里引入温度变量T，T怎么变呢？一般来说是指数变化 $T=0.99^tT_0$ ，这个0.99是退火率，可以进行修改，t是时间。之所以采用指数变化而不是什么线性递减，也有门道，后面解释。

看代码，随着循环，t增大，T以指数速率先快后慢变小。之后进行邻域中的随机选择，而不是在邻域中找最优。这时结果就只能有两种，我们通过新结果和原结果的差距 $\triangle E$ 判断：

$\triangle E>0$ ，更优。那我们就直接笑纳。这个效果上相当于登山算法。
$\triangle E\leq 0$ , 相等或者更差，总之要么确实是不好的结果，要么再走走可能会碰到更好的结果，先苦后甜。那到底怎么抉择呢，这可能是个机遇，但是也有风险，所以我们要计算概率。

概率公式初步理解

接受坏结果的概率 $P=e^{\frac{\triangle E}{T}}$ ，解析一下这个式子。

首先指数部分一定是负的，所以保证P是介于0-1之间的。
初期T大，不管E怎么变，比值总是接近于0，概率较大，所以很容易接受所有改动
中期T适中，由 $|\triangle E|$ 的大小决定是否接受，delta绝对值越大，接受概率越小，因为巨大的退步代表巨大的风险，合理。
后期T小，一般情况比值都更接近于负无穷，只有在 $|\triangle E|$ 特别小时能有接近于0的比值，才能接受，也就是说后期要么就是更优，直接接受，要么就是产生一个更差结果，我大概率不接受而保持原状，所以后期就相当于一个局部搜索。这里可见指数优点，在低温区变化够慢，可以保证足够的时间达到局部最优，保证收敛。其实还可以采取别的，比如现实世界的温度变化函数，但是规律一定是先快后慢。

如何理解步长逐渐缩小

我们进一步从步长的角度理解，这个步长是指 $|\triangle E|$ ，而这个常常和解空间中点的距离有较大的关系，所以我们就叫他步长：

刚开始T大，所以 $|\triangle E|$ 即使很大，也可以走出去，所以初期步长可大可小，可以接受各种结果。
但是到了后期，T变小， $|\triangle E|$ 一旦变大，给的概率就会变小，步子越大，越不容易接受，所以T越小，小步长的概率就越大，从这个角度理解，随着T减小，平均步长是会越来越小的。

宏观理解

再进行宏观理解，理解下这个算法的合理性与有效性：

从宏观角度理解，如果你把每次计算出来的概率输出，你会发现接受较差结果的概率是越来越小。
合理性。不需要担心算法质量越来越差，因为概率保证了质量。因为是随机搜索的，所以假定产生好结果的概率是0.5，那么产生坏结果的前提下再接受坏结果的概率肯定是小于0.5的，这就保证了在任何时候，总体上接受好结果的概率要大于接受坏结果的概率，保证方向是正确的。
收敛性。初期对坏结果的接受度很高，所以属于横冲直撞的广泛探索，不会收敛。后期温度降低，且保持足够长时间的低温。低温状态下，基本只会朝着优化方向走，所以在低温状态下相当于一个登山算法，而登山算法只要迭代次数够多，必然能达到局部最优。所以一定会收敛。
收敛较慢的特性保证了解的优秀性。

局部搜索实践：北理工最优化大作业——流水车间调度

流水车间问题入门
基于改进模拟退火算法的大规模置换流水车间调度_黎阳

n个器件，在m个机器上加工。
每个器件在一个机器上加工的时间都不同，会给出一个矩阵，告诉你哪个器件在哪个机器上的耗时。
求最好的顺序。

为什么顺序会影响时间呢？那是因为一个器件的加工，要等自己在前一个机器的加工完成，又要等上一个器件在当前机器的加工完成，这两个等待时间和顺序有关。

对于一种顺序，时间计算是很容易的，我后面也有现成的代码。

初探：邻域如何确定

问题来了，状态转移比较难。人家八皇后可以通过冲突数来确定状态变化，我们通过什么确定呢？或者准确说，我们在什么邻域里搜索呢？

既然是顺序，那么我每次变化就只能变化顺序，必须保证不冲突，就没办法对一个器件进行单独变化。但是可以明确的是，每次变化一定是交换两个工件的顺序，所以如何选定两个工件就是问题。是否存在一种启发性算法能找出合理的工件呢？我们还得从目标上下手。

经过我的一通查找，也看了一些论文，最后发现是有启发性算法的，但是比较麻烦，而且效果也就好那么一丢丢，性价比太低。所以最后的结论就是：不需要使用启发性算法，直接就进行邻域随机搜索。

你可能会怀疑，这和领域有什么关系呢？其实你只交换两个，或者只交换一部分，这已经是就近原则了。真正的全局纯随机，是利用np.random.shuffle函数将顺序彻底打乱，我试过这个方法，十分影响表现，所以不能用。这里也看出了，我们的三种交换策略确实和全局纯随机不一样。

【数学建模】模拟退火全解析

基本函数结构

这里给出导入的包，以及要用的函数。
其中有三种交换策略，基础的使用点交换，论文中还提到了区间颠倒和区间交换，我也都写了，经过测试保证有正确的结果。

# 解流水车间调度问题
# 函数编写
# 读取一个用例
def read():
    with open('flowshop-test-10-student.txt') as file_obj:
    #with open('one_instance.txt') as file_obj:
        line=file_obj.readline()#去除头两行
        line=file_obj.readline()
        line=file_obj.readline().split()# 获取n，m
        n=int(line[0])
        m=int(line[1])
        data=[]# 逐行读取内容
        for i in range(n):
            part=file_obj.readline().split()# 将工件数据提取出来
            part=[int(x) for x in part]# 类型装换
            part=part[1::2]# 切片
            data.append(part)
        return data   
       
# 时间到温度
def time_to_temp(time):
    return 0.99**time*100

# 动态规划计算调度时间,schedule储存顺序 
def all_time(data,schedule):
    C=np.zeros((len(data),len(data[0])))
    C[0][0]=data[schedule[0]][0]
    for j in range(1,len(data[0])):# 计算1，m
        C[0][j]=C[0][j-1]+data[schedule[0]][j]
    for i in range(1,len(data)): # 计算n，1
        C[i][0]=C[i-1][0]+data[schedule[i]][0]
    for j in range(1,len(data[0])): # 填充
        for i in range(1,len(data)): 
            C[i][j]=max(C[i-1][j],C[i][j-1])+data[schedule[i]][j]            
    #return C
    return C[-1][-1]
    
# 邻域搜索
def two_exchange(pre_schedule): # 将选定区域中工件顺序颠倒
    schedule=pre_schedule[:]
    n=len(pre_schedule)
    i=np.random.randint(0,n) # [low,high)，恰好覆盖所有可能
    j=np.random.randint(0,n)
    if j<i: # 保持ij大小关系
        temp=j
        j=i
        i=temp
    for k in range(j-i+1):# 颠倒区间
        schedule[j-k]=pre_schedule[i+k]
    return schedule

def three_exchange(pre_schedule): # 交换两段子序列位置
    n=len(pre_schedule)
    nodes=np.random.randint(0,n,3)
    nodes=sorted(nodes)
    print(nodes)
    schedule=pre_schedule[:nodes[0]] # 两边要边界，中间分给右边
    schedule.extend(pre_schedule[nodes[1]:nodes[2]+1])
    schedule.extend(pre_schedule[nodes[0]:nodes[1]])
    schedule.extend(pre_schedule[nodes[2]+1:])
    return schedule

def point_exchange(pre_schedule):# 随机两点交换
    schedule=pre_schedule[:]
    n=len(schedule)
    i=np.random.randint(0,n) # [low,high)，恰好覆盖所有可能
    j=np.random.randint(0,n)
    #print(f"exchange {i},{j}")
    t=schedule[i]
    schedule[i]=schedule[j]
    schedule[j]=t
    return schedule

登山搜索框架

用例：
这是一个简单的用例，用的时候保存成txt放在目录下，自己调整一下代码里的文件路径就好， $11^{11}$ 的解空间也还不算特别大，勉强可以遍历，实际后面我们会在50个工件级别的问题中计算，所以趁早死了遍历的心。

instance 0
optimal-result:7038
11 5
0 375 1  12 2 142 3 245 4 412
0 632 1 452 2 758 3 278 4 398
0  12 1 876 2 124 3 534 4 765
0 460 1 542 2 523 3 120 4 499
0 528 1 101 2 789 3 124 4 999
0 796 1 245 2 632 3 375 4 123
0 532 1 230 2 543 3 896 4 452
0  14 1 124 2 214 3 543 4 785
0 257 1 527 2 753 3 210 4 463
0 896 1 896 2 214 3 258 4 259
0 532 1 302 2 501 3 765 4 988

代码：

# 登山搜索
# 编码和初始化
data=read()
print(data)
schedule=list(range(len(data)))# 初始顺序调度

# 循环
t=0
T=time_to_temp(t)
epsilon=0.1 # 阈值温度
min_time=[] # 记录每个变化节点
min_t=[]
min_time.append(all_time(data,schedule))
min_t.append(0)
while T>epsilon:
    # 多规则邻域搜索生成新解，协同比较
    new_schedule=point_exchange(schedule)
    # 判断新解情况，决定新状态
    now_time=all_time(data,new_schedule)
    if(now_time<min_time[-1]): # 耗时更少
        min_time.append(now_time)
        min_t.append(t)
        schedule=new_schedule
    # 更新时间和温度    
    t=t+1
    T=time_to_temp(t)
min_time.append(min_time[-1])
min_t.append(t)
print(f"after {t} epoch",min_time[-1],schedule)
plt.xlabel('迭代次数')
plt.ylabel('调度总时间')
plt.plot(min_t,min_time)

一次结果，优化到7038，有时候会有一点差距，这个和运气有关系：

【数学建模】模拟退火全解析

模拟退火框架

数据还是用的上面给出的数据，程序其实也仅仅是在对于新解判断的一步进行改动。

# 模拟退火
# 编码和初始化
data=read()
print(data)
schedule=list(range(len(data)))# 初始顺序调度

# 循环
t=0
T=time_to_temp(t)
epsilon=0.1 # 阈值温度
min_time=[] # 记录每个变化节点
min_t=[]
min_time.append(all_time(data,schedule))
min_t.append(0)
while T>epsilon:
    # 多规则邻域搜索生成新解，协同比较
    new_schedule=point_exchange(schedule)
    # 判断新解情况，决定新状态
    now_time=all_time(data,new_schedule)
    if(now_time<min_time[-1]): # 耗时更少
        min_time.append(now_time)
        min_t.append(t)
        schedule=new_schedule
    else: # 概率接受更差结果
        P=np.exp((min_time[-1]-now_time)/T)
        if np.random.rand()<P: # 接受差结果
            min_time.append(now_time)
            min_t.append(t)
            schedule=new_schedule
    # 更新时间和温度    
    t=t+1
    T=time_to_temp(t)
min_time.append(min_time[-1])
min_t.append(t)
print(f"after {t} epoch",min_time[-1],schedule)
plt.xlabel('迭代次数')
plt.ylabel('调度总时间')
plt.plot(min_t,min_time)

跑出来的图大概是这样，可以看到波动还是比较大的，但是最后可以达到更好的效果。
【数学建模】模拟退火全解析

完全版本项目文件

项目包含加强版源代码，数据集，实验结果图，以及我写的论文。

百度云
提取码：cyyy

上面给出的俩程序都很简单，实际上我们还可以通过一些技巧，提高5%左右的表现。我自己就是从3500优化到了3280的，基本上优化了 $\dfrac{220}{3250}=6.8\%$ ，这么一看还是挺可观的。

具体的改进：

程序架构。其实有11组数据，所以要用新的read函数，一次性读取出11个矩阵，然后遍历逐个处理。
10组随机重启搜索。每个测试用例都要进行10次随机重启搜索，互不干扰
增加记忆机制，选择最好的组作为结果。这样可以降低结果对出生点的依赖。
实现三种邻域搜索，每次搜索都要从当前状态进行三种搜索，选择其中最好的结果，再进行判断是否保留。
图像绘制。采用1000dpi的清晰度，记录每个优化点的时间与结果，将10组都画在一张图里。最后保存到目录里，用于论文撰写。

看看我最后的成果，从图中可以看出：

小规模问题上，登山搜索和模拟退火不会有太大差异
但是稍微上升到50个工件的规模，模拟退火就逐渐体现出优势，登山搜索10组才出来一个3280级别的，而模拟退火一眼看过去全是3280级别的，有理由认为登山搜索那个3280是偶然，也就是随机重启带来的好处，而模拟退火即使是只跑一组实验，结果也很稳定
如果上升到100工件，在结果上模拟退火应该是会更优的。

【数学建模】模拟退火全解析