离散数学——图论-Toy模板网

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图的基本概念

图的定义

现实世界中许多现象能用某种图形表示，这种图形是由一些点和一些连接两点间的连线所组成。

例子：a，b，c，d 4个篮球队进行友谊比赛。为了表示４个队之间比赛的情况，我们作出图7.1.1的图形。在图中４个小圆圈分别表示这４个篮球队，称之为结点。如果两队进行过比赛，则在表示该队的两个结点之间用一条线连接起来，称之为边。这样利用一个图形使各队之间的比赛情况一目了然。
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图G的结点与边之间的关系

邻接点：同一条边的两个端点。
孤立点：没有边与之关联的结点。
邻接边：关联同一个结点的两条边。
孤立边：不与任何边相邻接的边。
自回路（环）：关联同一个结点的一条边（（v，v）或〈v，v〉）。
平行边(多重边)：关联同一对结点的多条边。

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图G的分类

按G的结点个数和边数分为(n,m)图，即n个结点，m条边的图；特别地，(n,0)称为零图，(1,0)图称为平凡图。
按G中关联于同一对结点的边数，分为：多重图和简单图；多重图：含有平行边的图。 简单图：不含平行边和自环的图。
按G的边有序、无序，分为：有向图、无向图和混合图。
有向图：每条边都是有向边的图称为有向图；
无向图：每条边都是无向边的图称为无向图；
混合图：既有无向边，又有有向边的图称为混合图。
按G的边旁有无数量特征，分为：边权图和无权图;
按G的任意两个结点间是否有边，分为：完全图Kn 和不完全图。
完全图：任意两个不同的结点都是邻接的简单图称为完全图。n个结点的无向完全图记为Kn。

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图的结点的度数及其计算

定义：图中结点 v 所关联的边数（有自回路时计算两次）称为结点v的度数，记为deg（v）。

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子图和图的同构

子图

在研究和描述图的性质时，子图的概念占有重要地位。
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图的同构

从图的定义可以看出，图的最本质的内容是结点与结点的邻接关系。
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例子：考察图7.1.9中的两个图 G＝〈V,E〉和 G′＝〈V′,E′〉。

显然，定义ｇ：V→V′，ｇ（vi）＝vi ′，可以验证ｇ是满足定义7.1.6的双射，所以G ≌ G′。

对于同构，形象地说，若图的结点可以任意挪动位置，而边是完全弹性的，只要在不拉断的条件下，这个图可以变形为另一个图，那么这两个图是同构的。故同构的两个图从外形上看可能不一样，但它们的拓扑结构是一样的。

路与回路

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图的连通性

无向图的连通性

定义7.2.3：在无向图，如果一个图的任何两个结点之间都有一条路，那么我们称这个图是连通的，否则是不连通的。

定义7.2.4：图G的一个连通的子图G′（称为连通子图）若不包含在G的任何更大的连通子图中，它就被称作G的连通分支。我们把图G的连通分支数记作W（G）。

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有向图的连通性

定义7.2.5：在有向图中，如果若从结点 u 到 v 有一条路，则称 u 可达 v 。

定义7.2.6：设有有向图G，

若G的任意两个结点中，至少从一个结点可达另一个结点，则称图G是单向连通的；

如果G的任意两个结点都是相互可达的，则称图G是强连通的；

如果略去边的方向后，G成为连通的无向图，则称图G是弱连通的。

从定义可知：若图G是单向连通的，则必是弱连通的；若图G是强连通的，则必是单向连通的，且也是弱连通的。但反之，不真。

在图7.2.4中，(a)是强连通的，(b)是单向连通的，©是弱连通的。
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图的矩阵表示

邻接矩阵

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可达性矩阵

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定理7.3.2：有向图G是强连通的当且仅当其可达性矩阵 P 除主对角线外，其它元素均为１。

欧拉图与汉密尔顿图

欧拉图

历史上的哥尼斯堡七桥问题是著名的图论问题。

问题是这样的：18世纪的东普鲁士有个哥尼斯堡城，在横贯全城的普雷格尔河两岸和两个岛之间架设了7座桥，它们把河的两岸和两个岛连接起来（如图7.4.1）。
每逢假日，城中居民进行环城游玩，人们对此提出了一个“遍游”问题，即能否有这样一种走法，使得从某地出发通过且只通过每座桥一次后又回到原地呢？
我们将图7.4.1中的哥尼斯堡城的4块陆地部分分别标以 A，B，Ｃ，D，将陆地设想为图的结点，而把桥画成相应的连接边，这样图7.4.1可简化成图7.4.2。于是七桥“遍游”问题等价于在图7.4.2中，从某一结点出发找到一条回路，通过它的每条边一次且仅一次，并回到原来的结点。
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定义7.5.1：给定无孤立结点的图G，若存在一条经过G中每边一次且仅一次的回路，则该回路为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图。

例如，给出如图7.4.3所示的两个图，容易看出，(a)是欧拉图，而(b)不是欧拉图。
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定理7.5.1：连通图G是欧拉图的充要条件是G的所有结点的度数都是偶数。

证明：
必要性：设G是一欧拉图，α 是G中的一条欧拉回路。当 α 通过G的任一结点时，必通过关联于该点的两条边。又因为G中的每条边仅出现一次，所以 α 所通过的每个结点的度数必定是偶数。
充分性：我们可以这样来作一个闭迹 β，假设它从某结点A开始，沿着一条边到另一结点，接着再从这个结点，沿没有走过的边前进，如此继续下去。因为我们总是沿着先前没有走过的新边走，又由于图G的边数有限，所以这个过程一定会停止。但是，因为每一个结点都与偶数条边关联，而当沿 β 前进到达结点v时，若 v ≠ A，β 走过了与 v 关联的奇数条边，这样在v上总还有一条没有走过的边。因此，β 必定返回停止在A（见图 7.4.4）。

运用上面的讨论，我们在G1中得到一个从B点出发的一条闭迹 β1。这样我们就得到了一条更大的闭迹，它是从A点出发沿 β 前进到达B，然后沿闭迹 β1 回到B，最后再沿 β 由B走到A。如果我们仍然没有走遍整个图，那么我们再次把闭迹扩大，以此类推，直到最后得到一个欧拉回路。

由于在七桥问题的图 7.4.2中，有４个点是奇数度结点，故不存在欧拉回路，七桥问题无解。

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我国民间很早就流传一种“一笔画”游戏。由定理 7.5.1和定理 7.5.2知，有两种情况可以一笔画。
1)如果图中所有结点是偶数度结点，则可以任选一点作为始点一笔画完；
2)如果图中只有两个奇度结点，则可以选择其中一个奇度结点作为始点也可一笔画完。

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汉密尔顿图

与欧拉回路类似的是汉密尔顿回路问题。它是1859年汉密尔顿首先提出的一个关于12面体的数学游戏：能否在图 7.4.9中找到一个回路，使它含有图中所有结点一次且仅一次？若把每个结点看成一座城市，连接两个结点的边看成是交通线，那么这个问题就变成能否找到一条旅行路线，使得沿着该旅行路线经过每座城市恰好一次，再回到原来的出发地呢？为此，这个问题也被称作周游世界问题。
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树与生成树

无向树

树是图论中的一个重要概念。早在1847年克希霍夫就用树的理论来研究电网络，1857年凯莱在计算有机化学中Ｃ2H2n+2的同分异构物数目时也用到了树的理论。而树在计算机科学中应用更为广泛。本节介绍树的基本知识，其中谈到的图都假定是简单图。

定义7.5.1：一个连通无环无向图称为无向树(简称为树)。记作T。树中度数为1的结点称为树叶（或终端结点），度数大于１的结点称为分枝点（或内点，或非终端结点）。一个无圈图称为森林。

显然若图G是森林，则G的每个连通分支是树。如图 7.5.1 (a) 所示的是一棵树；(b)所示的是森林。
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定理7.5.1：任一树T中，至少有两片树叶(n≥2时)。

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定理7.5.2：一个无向图（n,m）图T是树，当且仅当下列5条之一成立。(或者说，这5条的任一条都可作为树的定义。)

无环且m=n-1。

连通且m=n-1。

无环，但增加任一新边,得到且仅得到一个环。

连通，但删去任一边，图便不连通(n≥2)。

每一对结点间有唯一的一条通路。(n≥2)。

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无向图中的生成树与最小生成树

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下面介绍求 TG 的克鲁斯克尔（Kruskal) 算法。
此方法又称为 “避环法”。其要点是，在与已选取的边不成圈的边中选取最小者。具体步骤如下：
(1)在G中选取最小权边，置边数 i＝1。
(2)当 i＝n－1时，结束。否则，转3)。
(3)设已选择边为 e1,e2,…,ei，在G中选取不同于 e1,e2,…,ei 的边 ei+1,使{e1,e2,…,ei,ei+1} 无环且 ei+1 是满足此条件的最小权边。
(4)置 i 为 i＋1，转(2)。

例 7.5.4：求图 7.5.4(0)中有权图的最小生成树。
解：因为图中 n＝8，所以按算法要执行 n－1＝7次，其过程见图 7.5.4中(1) ~ (7)。
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例 7.5.5：求图 7.5.5中有权图G的最小生成树。
解：因为图中 n＝8，所以按算法要执行 n－1＝7次。

例 7.5.6：图 7.5.6 所示的赋权图G表示七个城市 a,b,c,d,e,f,g 及架起城市间直接通讯线路的预测造价。试给出一个设计方案使得各城市间能够通讯且总造价最小，并计算出最小造价。

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解：该问题相当于求图的最小生成树问题，此图的最小生成树为图 7.5.6中的 TG，因此如图 TG 架线使各城市间能够通讯，且总造价最小，最小造价为：
　Ｗ(Ｔ)＝１＋３＋４＋８＋９＋23＝48

根树及其应用

有向树

定义 7.6.1：一个有向图，若不考虑边的方向，它是一棵树，则这个有向图称为有向树。一棵有向树，如果恰有一个结点的入度为０，其余所有结点的入度都为１，则称为根树，其中入度为０的结点称为树根，出度为０的结点称为树叶，出度不为０的结点称为分枝点或内点。

如图 7.6.2(a) 表示一棵根树，其中 v1 为树根，v1，v2，v3 为分枝点，其余结点为树叶。习惯上我们把根树的根画在上方，叶画在下方。这样就可以省去根树的箭头，如图 7.6.2(b)。在根树中，称从树根到结点 v 的距离为该点的层次。这样对图7.6.2 中的根树，v1 的层次为０，v2、v3 的层次为１，其余结点的层次均为２。我们用家族关系表示根树中各结点的关系。
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定义 7.6.2：在根树中，若从 vi 到 vj 可达，则称 vi 是 vj 的祖先，vj 是 vi 的后代；又若〈vi，vj〉是根树中的有向边，则称 vi 是 vj 的父亲，vj 是 vi 的儿子；如果两个结点是同一结点的儿子，则称这两个结点是兄弟。

定义 7.6.3：在根树中，任一结点 v 及其 v 的所有后代和从 v 出发的所有有向路中的边构成的子图称为以 v 为根的子树。根树中的结点 u 的子树是以 u 的儿子为根的子树。

在现实的家族关系中，兄弟之间是有大小顺序的，为此我们又引入有序树的概念。

定义 7.6.4：如果在根树中规定了每一层次上结点的次序，这样的根树称为有序树。我们在有序树中规定同一层次结点的次序是从左至右。

m叉树

在树的实际应用中，我们经常研究完全 m 叉树。

定义 7.6.5：在根树中，若每个结点的出度小于或等于 m ，则称这棵树为 m 叉树。如果每个结点的出度恰好等于０或 m，则称这棵树为完全 m 叉树。二叉树(binarytree)的每个结点 v 至多有两棵子树，分别称为 v 的左子树和右子树。

定理 7.6.1：在完全 m 叉树中，若树叶数为 t，分枝点数为 i，则：(m-1) i＝ t -１。

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例 7.6.2：假设有一台计算机，它有一条加法指令，可计算3个数之和。如果要求9个数 x1，x2，…，x9 之和，问至少要执行几次加法指令？

解：用3个结点表示3个数，把9个数看成树叶，将表示3数之和的结点作为它们的父亲结点。这样本问题可理解为，求一个完全三叉树的分枝点的个数问题。
由定理 7.6.1 知，有(３-１) i＝９-１，得 i＝４。所以要执行4次加法指令。
图 7.6.5 表示了两种可能的顺序。
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例 7.6.3：设有28盏灯，拟公用一个电源，则至少需要多少个４插头的接线板?