目录
1.算法的复杂度
2.时间复杂度
2.1 时间复杂度的概念
2.2 大O的渐进表示法
3、常见时间复杂度计算举例
3.1 冒泡排序
3.2 二分查找
3.3 阶乘递归
3.4 斐波那契数列
1.算法的复杂度
算法在编写成可执行程序后,运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏,一般是从时间和空间两个维度来衡量的,即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢,而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算
机发展的早期,计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展,计
算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度 。
2.时间复杂度
2.1 时间复杂度的概念
时间复杂度的定义:在计算机科学中,算法的时间复杂度是一个函数,它定量描述了该算法的运行时间。一
个算法执行所耗费的时间,从理论上说,是不能算出来的,只有你把你的程序放在机器上跑起来,才能知
道。但是我们需要每个算法都上机测试吗?是可以都上机测试,但是这很麻烦,所以才有了时间复杂度这个
分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例,算法中的基本操作的执行次数,为算法的时间复杂度。
即:找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式,就是算出了该算法的时间复杂度。
举例:
Q:计算一下Func1中++count语句执行了多少次?
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
for (int j = 0; j < N ; ++ j)
{
++count;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
Func1 的时间复杂度:F(N) = N*N + 2*N + 10
N = 10 F(N) = 130
N = 100 F(N) = 10210
N = 1000 F(N) = 1002010
实际中我们计算时间复杂度时,我们其实并不一定要计算精确的执行次数,而只需要大概执行次数,那么这里我们使用大O的渐进表示法。
2.2 大O的渐进表示法
大O符号(Big O notation):是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法:
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶 。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况:
最坏情况:任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况:任意输入规模的期望运行次数
最好情况:任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如:在一个长度为 N 数组中搜索一个数据 x
最好情况:1 次找到
最坏情况:N 次找到
平均情况:N/2 次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况,所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)。
注:时间复杂度是不固定的,时间复杂度表示的是最坏的情况。
举例:
Q:计算下面代码的时间复杂度
void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++ k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N ; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
A:时间复杂度:O(M+N)
分析:
这里除非说明过 M >> N 或 N >> M ,远小于的那个字母就可以不表示。
Q:计算下面代码的时间复杂度
void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
A:时间复杂度:O(1)。
分析:这里的1不是一次,是代表常数次,常数次用 O(1) 表示,写为一亿也是常数。
3、常见时间复杂度计算举例
3.1 冒泡排序
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i - 1] > a[i])
{
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
分析:
因此,冒泡排序的时间复杂度:O(N^2)。
3.2 二分查找
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n - 1;
// [begin, end]:begin和end是左闭右闭区间,因此有=号
while (begin <= end)
{
int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
if (a[mid] < x)
begin = mid + 1;
else if (a[mid] > x)
end = mid - 1;
else
return mid;
}
return -1;
}
分析:
因此,二分查找的时间复杂度:O(log N)。
3.3 阶乘递归
long long Fac(size_t N)
{
if (0 == N)
return 1;
return Fac(N - 1) * N;
}
分析:
因此,递归阶乘的时间复杂度:O(N)。
总结:在递归调用的时候,函数内部的时间复杂度为 O(1),递归后的整体时间复杂度就是递归的次数。函数内部的时间复杂度为O(N),递归后的整体时间复杂度为O(N*M)。这里的M是次数。
3.4 斐波那契数列
long long Fib(size_t N)
{
if (N < 3)
return 1;
return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}
分析:
文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-432826.html
因此,斐波那契数列的时间复杂度:O(2^N)。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-432826.html
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