【算法】优先队列式分支限界法，以01背包问题为例-Toy模板网

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【算法】优先队列式分支限界法，以01背包问题为例

📑 例题：01背包问题

题目链接：采药-洛谷
当洛谷上不让下载测试用例，可以试试：采药-ACWing

题目描述
辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？
输入格式
第一行有 22 个整数 $T$ （ $\le T \le 1000$ ）和 MM（ $\le M \le 100$ ），用一个空格隔开， $T$ 代表总共能够用来采药的时间， $M$ 代表山洞里的草药的数目。
接下来的 $M$ 行每行包括两个在 1 到 100 之间（包括 1 和 100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
输出格式
输出在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。

01背包问题很经典，回溯、分支限界、动态规划都可以用来解决它。这里使用的是分支限界法。
注：例题中采药的时间就相当于物品的质量或体积。

🌵 分析：分支限界解法

基本思路

分支限界法类似于广度优先搜索，可使用队列实现，但进行了优化：

求出原问题的一个上界和下界。由于背包问题中要求总价值的最大化，则：
上界：大于等于最优解
下界：某个可行解
搜索过程中
某结点处的上界¹已经低于原问题的下界，则该分支不必继续搜索
某可行解达到了原问题的上界，则该可行解即为原问题的最优解，停止搜索
上界和下界可以是 （也可以不是，为了效率罢了） 动态变化的，搜索时将上界和下界不断靠拢，缩小最优解可能存在的范围，那么最后：真相只有一个！
更新上界：（后面“优先队列的使用”将会介绍）
更新下界：如果找到某可行解大于原来的下界，则将它作为原问题的新下界

优先队列的使用

简介

优先队列式分支限界法：每次算完限界后，把搜索树上当前所有叶结点的限界进行比较。找出限界最优的结点，此结点即为下次分支的结点。²

优先队列的一个意义在于，总是搜索当前看起来最优的结点，因此更有可能更快地找到最优解。此外，它可以帮助进行上界的更新。

上界函数与上界的更新

原问题上界更新：优先队列中，队首结点的上界作为此时原问题的上界。
- 如何保证队首结点的上界是全局的上界？(不仅是队列中上界最大的结点，而是整个解空间树种上界最大的结点)
- 这将涉及上界函数的选取，它需要有这样的性质： $结点上界 > = 以该节点为根的子树中所有结点的上界$
  （你可能感觉这是理所当然，根结点的上界当然不会比子结点的上界小，但笔者是踩过这个坑的，并为此debug到夜晚两点半）
上界函数（ub）
假设所有物品已经按单位价值从大到小排序。
- 1）策略：用剩余物品中单价最高的物品填满背包的剩余空间 （可以理解为切下一部分）
  $结点上界=当前背包中物品总价值+剩余空间\times下一个待选择物品的单位价值$
- 2）策略：选剩余物品单价最高的，把能放的物品放进背包，如果碰到某个物品放不下，就按它的单价填满背包的剩余空间。
- 3）一个错误的策略：按单价从高到低遍历剩余物品，能放得下就放进去，然后选最后放下的一个物品的下一个的单价，用来填满背包的剩余空间。

🍖 举个例子
背包容量 $C = 10$ ，物品数量 $n = 4$ 。

物品序号	质量	价值	单位价值
1	4	24	6
2	8	40	5
3	5	20	4
4	2	6	3

策略1： $上界_1=6*10=60$
策略2： $上界_2=24+（10-4）*5=54$
策略3： $上界_3=24+20+(10-4-5)*3=47$

策略 1 和 2 都是对的，后者更精确一些，使用它的搜索效率也会更高。（你也许无法相信，某个测试用例下，前者搜索了 $两百多万个$ 结点，而后者只搜索了 $一百多个$ 结点，就像差之毫厘，谬以千里）

🍭 搜索树如下图（策略 1）
【算法】优先队列式分支限界法，以01背包问题为例

有问题的策略3
策略 3 求的确实是上界没有问题，而且比策略 2 更精确。问题在于它不满足：
$结点上界 > = 以该节点为根的子树中所有结点的上界$

🍗 示例2
背包容量 C = 10，物品数 n = 6

物品序号	质量	价值	单位价值
1	1	10	10
2	6	55	9.17
3	6	54	9
4	6	54	9
5	9	72	8
6	3	3	1

使用策略 1 或 2： $最优解 = 82$ （正确的最优解）
使用策略 3： $最优解 = 68$

🍭 搜索树如下图（策略 3）
【算法】优先队列式分支限界法，以01背包问题为例

关于下界

笔者认为，对于当前的背包问题，使用了优先队列后，已经不需要下界了，因为我们总是在选择全局上界最高的结点进行搜索。

实现（C++）

🥣 头文件、结构与函数定义

#include<iostream>
#include<queue>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;

//物品类型 
struct thing {
	int w;//质量 
	int v;//价值
	double k;//价值比质量（？？需要浮点数吗） 
	
	thing() {
		w = 1;
		v = 0;
	}
	
	void getK() {
		k = (double)v / w;
	}
	
	bool operator<(const thing& s) const {
		return k > s.k;
	}
};

//搜索树的结点 
struct node {
	int W;//当前质量 
	int V;//当前价值 
	int ub;//该结点上界 
	int a[105];//部分解
	int index;//待决策结点 
	
	node() :a{} {
		W = 0;
		V = 0;
		ub = 0;
		index = 0;
	} 
	
	bool operator<(const node& s) const {	//用于大根堆（降序优先队列） 
		return ub < s.ub;
	} 
	
	void getUb(int C, vector<thing> things, int M) {
		int lb = 0;//新放入物品的价值 
		int _W = W;
		int i = index; 

		//贪心法按价值放能放的物品 
		while(_W + things[i].w <= C && i < M) {
			_W += things[i].w;
			lb += things[i].v;
			i++;
		}
		i++;

		int leave = (C - _W) * (things[i].k);
		ub = V + lb + leave;
	}
};

🍚主函数

int main() {
	int C = 0;//背包总容量 
	int M = 0;//物品数目 
	cin >> C >> M;

	vector<thing> things;//物品 
	priority_queue<node> q;//搜索结点空间

	//输入物品，并按单位价值从大到小排序 
	for (int i = 0; i < M; i++) {
		thing t;
		cin >> t.w >> t.v;
		things.push_back(t);
		things[i].getK();
	}
	sort(things.begin(), things.end());

	//开始搜索结点空间
	node t;
	t.getUb(C, things, M);
	q.push(t);

	int result = 0;//最优解 

	while (q.empty() == false) {
		node f = q.top();
		q.pop();

		//得到最优解 
		if(f.V >= f.ub){
			result = f.V;
			break;
		}
		//构造左结点（不选择-0） 
		if (f.index < M) {
			node l = f;
			l.index = l.index + 1;
			l.getUb(C, things, M);
			q.push(l);
		}
		//构造右结点（选择-1） 
		if (f.index < M && f.W + things[f.index].w <= C) {
			node r = f;
			r.W += things[r.index].w;
			r.V += things[r.index].v;
			r.a[r.index] = 1;
			r.index = r.index + 1;
			r.getUb(C, things, M);

			q.push(r);
		}
	}

	cout << result << endl;

	return 0;
}

🧭 bug记录

bug1：使用不恰当的上界函数
具体的前面已经写到了。
bug2：物品单位价值使用了int类型
有物品的价值不能被质量整除的情况。
bug3：c++变量的初始化
我以为thing m();的意思是定义一个变量 m，并调用构造函数进行初始化 （因为有int a(0)这种用法）。编译器是不是理解成了我要定义一个返回值类型为 thing ，名字是 m 的函数？
其实直接thing m;就好了，系统会自己调用构造函数。