竞赛知识点4【搜索】-Toy模板网

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复习

栈和队列的概念

栈是限定仅在表头进行插入和删除操作的线性表（先进后出）。
队列是只允许在表的前端（front）进行删除操作，而在表的后端（rear）进行插入操作。

树

树是一种数据结构，它是由 $(n\geq1)$ 个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做
“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的
特点：
• 每个节点有零个或多个子节点
• 没有父节点的节点称为根节点
• 每一个非根节点有且只有一个父节点；除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子
树

• 通过不停的试探去寻找解的一种算法。与其说是一种算法，不如说是一种方法。

• 基础的方法有暴力的搜索法，深搜，广搜三种。

• 更高级的有IDDFS，DBFS，A*，IDA*等等。

1.1、深度优先搜索（dfs）

1.1.1、概念

“一条道走到黑”、 “走不了了再倒回去。”

算法过程：

VOID DFS(状态 A)

判断当前的状态是否合法。合法则继续执行，否则则回到上次调用。

先下走一层，也就是调用DFS(状态 A + Δ)

1.1.2、例题

1、输出n个数的全排列

1,2,3组成的全排列为：

123

132

213

231

312

321

可以写 n 重 for 循环
可以用 stl 里面的 next_permutation

递归的来想这个问题，以1,2,3,4为例:
• 如果第一个数固定为1的话
• 后面就跟着2,3,4的全排列—— 所以就相当于是原问题的子问题的求解
• 考虑用递归解决

Void dfs（已经固定了前k-1个数剩下的数的全排列，是哪k-1个数通过标记该数字用没用过
来显示，当前这一步的任务就是把第k个数放上去）
{
	如果 已经求出来了 k>n 输出， 返回
 	否则 i从1到n循环
 	如果i没有用过，那么就将i固定在当前位置上，并调用 dfs（k+1）
 	在调用完dfs（k+1）后需要将固定在当前位置上的i拿走
}

void dfs(int dep)
{
	if(dep>n)
	{
		write();
		return;
	}	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i])
		{
			vis[i]=1;
			a[dep]=i;
			dfs(dep+1);
			vis[i]=0;
		}
	}
}

2、输出n个数中选m个的组合

3、N皇后（8皇后的升级版）

在 $N * N$ 的棋盘上放置 $N(n\leq13)$ 个皇后而彼此不受攻击（即在棋盘的任一行，任一列和任一对角线上不能放置 $2$ 个皇后），编程求解所有的摆放方法。

竞赛知识点4【搜索】

由于皇后的摆放位置不能通过某种公式来确定，因此对于每个皇后的摆放位置都要进行试探和纠正，这就是“回溯”的思想。
• 在 $N$ 个皇后未放置完成前，摆放第 $i$ 个皇后和第 $i + 1$ 个皇后的试探方法是相同的，因此完全可以采用递归的方法来处理。
• 由于皇后本身的特殊性质，即一行一列只能有一个皇后，所以我们所要做的就是，从第 $0$ 行开始摆放，一直摆到第 $n -1$ 行为止。

关于判断当前皇后可不可以放：

我们是一行一行的放置皇后，所以不需要判断行冲突；
判断列冲突时，可以通过设置一个布尔数组，如果已经有皇后放在那里，就把布尔值设为 $1$ ，如果可以放置并且没有冲突（即布尔值为 $0$ ），就放置当前这个皇后，且设置为 $1$ ；
判断对角线冲突时，有一个特殊的技巧：
1. 由于每一条主对角线 $(x - y)$ 的值是一定的，每一条副对角线 $(x + y)$ 的值是一定的。所以就可以用 $(x + y)$ 的值表示副对角线， $(x - y)$ 的值表示主对角线。（于是就和处理列的情况一样了！）
2. 假设我们把第 $c u r$ 个皇后放在了 $p os [c u r]$ （ $p os [c u r]$ 储存了这个值），那么只需判断所检查的从前往后数第 $k$ 个皇后有没有冲突就行了。

void dfs(int dep)
{
	if(dep>n)
	{
		write();
		return;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i] && !l[i+dep] && !r[i-dep+n])
		{
			vis[i]=1,l[i+dep]=1,r[i-dep+n]=1;
			a[dep]=i;
			dfs(dep+1);
			vis[i]=0,l[i+dep]=0,r[i-dep+n]=0;
		}
	}
}

4、马踏棋盘

给一个 $5 * 5$ 的国际象棋棋盘，国际象棋的马同样是走“日”字。
问，如果一个马，从第一个格子开始走，那么走遍整个 $5 * 5$ 的棋盘的方案，有多少种？并且输出方案数。

思路：

把问题抽象出来，就是有一只马要对整个图进行一次遍历，不重不漏。
其次考虑这个马的走法（ $8$ 种）。
接着如何去在程序里面表现出这个棋盘。
最后就是套用回溯法的主要结构。

1.1.3、DFS大体框架

试探节点A
A是否满足在这个图（或树）中
如果在，标记A如果已经被试探过的话，所影响的各种值；
紧接着，去试探所有的A可以达到的节点；
等待所有的都执行完之后，还原标记A

1.1.4、剪枝

优化搜索的思路 — 减小搜索树的大小

方法：

改变搜索顺序
剪枝：最优化剪枝 & 可行性剪枝

题目1
$N * M$ 的迷宫中给定起点 $S$ 和终点 $D$ ,问你是否能在 $T$ 时刻恰好到达终点 $D$ ?

S.X.
..X.
..XD

分析：

两个点之间是可以重复走的
从 $A$ 点走到 $B$ 点的奇偶性是不会改变的（剪枝1）
$T_a$ + $T_b$ 大于 $T$ ,直接回溯（剪枝2）

题目2
乔治拿来一组等长的木棒，将它们随机地砍断，使得每一节木棍的长度都不超过 50 个长度单位。然后他又想把这些木棍恢复到为裁截前的状态，但忘记了初始时有多少木棒以及木棒的初始长度。请你设计一个程序，帮助乔治计算木棒的可能最小长度。每一节木棍的长度都用大于零的整数表示。(小木棍的数量小于等于 64)

分析文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-433331.html

二分是否可行？
no
如何枚举？
所有小木棍长度中最大的那个数开始枚举，下一次枚举的数为所有小木棍长度总和的因子。
如何拼接？
先拼接长的（搜索树的规模变小）
剪枝

如果第 $i$ 个棍子不能拼成假设的长度，则和第 $i$ 个棍子相同长度的棍子也是不可能的，可以直接跳过去的。
替换第 $i$ 根棍子的第一根(或最后一根)木棒是没用的。
如果某次拼接选择长度为 $S$ 的木棒，导致最终失败，则在同一位置尝试下一根木棒时，要跳过所有长度为 $S$ 的木棒。

bool dfs(int num,int len,int rest) //剩余的小木棍的数量 长度 还剩余要拼接的
{
	if(num==0 && rest==0) return true;
	if(rest==0) rest=len;
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		if(vis[i])continue;
		if(a[i]>rest) continue;
		vis[i]=true;
		if(dfs(num-1,len,rest-a[i]))
			return true;
		vis[i]=false;
		if(a[i]==rest||len==rest)	break;
		while(a[i]==a[i+1])i++;
	}
	return 0;
}