Python调用二分法和牛顿法求方程的根-Toy模板网

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二分法

二分法是最简单的求根算法。

对于方程 $f (x) = 0$ ，如果 $f(a)\cdot f(b)<0$ ，则说明 $a, b$ 之间必有根，如果按照某个步长对其进行搜索，那么最终一定能够不断缩小根的取值范围，不断精确化。

二分法就是基于这种思想的一种算法，其实质是对区间进行快速选取。如果已知 $f(a)\cdot f(b)<0$ ，则快速选取 $c=\frac{a+b}{2}$ ，如果 $f(a)\cdot f(c)<0$ ，则说明根在 $(a, c)$ 之间，否则即说明根在 $(a, b)$ 之间，然后不断迭代下去。

scipy提供了二分求根算法bisect，测试如下

from scipy.optimize import bisect

def func(x):
    return x*x - 2

bisect(func, 0, 2)
# 1.4142135623715149

其中，func为待求函数，0,2为下限和上限。

牛顿法

如果 $f (x)$ =0可以写成 $x=\varphi(x)$ 的形式，则可以将这个方程的根理解为 $y=\varphi(x)$ 与 $y = x$ 的交点。现给定一个初值 $x_0$ ，将其代入 $\varphi(x)$ 中，则 $\varphi(x_0)$ 对应一个新的 $x$ ，记为 $x_1$ 。

如果数列 ${x_n\}$ 收敛，那么必有 $x=\lim_{k\to\infty}x_k$ 即为方程的根。所以，问题的关键在构造合适的 $\varphi(x)$ 使得数列能够快速收敛。

其最简单的形式莫过于 $x_{k+1}=x_k+f(x_k)$ ，不过这种迭代公式看起来十分危险，如果$f(x_k)是一个大于0的单调递增函数，那么结果就爆炸了。

所以，最好为 $f(x_k)$ 乘以一个系数，当 $f(x_k)$ 增加时使之变小，当其递减时使之变大。所以一个比较好的形式为

$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$

此即Newton公式。

除了迭代形式，Newton公式也可以作为二分法的一个升级版本， $x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$ 可以表示过 $x_k,f(x_k))$ 做切线与 $x$ 轴的交点，通过切线选取新的 $x$ 值取代了二分法的盲动性，示例如下

from scipy.optimize import newton

newton(func, 0)
# 1.4142135623715149

函数定义

二分法和牛顿法的参数定义如下

bisect(f, a, b, args=(), xtol=2e-12, rtol=8.881784197001252e-16, maxiter=100, full_output=False, disp=True)
newton(func, x0, fprime=None, args=(), tol=1.48e-08, maxiter=50, fprime2=None, x1=None, rtol=0.0, full_output=False, disp=True)