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Weight Decay是一个正则化技术，作用是抑制模型的过拟合，以此来提高模型的泛化性。
目前网上对于Weight Decay的讲解都比较泛，都是短短的几句话，但对于其原理、实现方式大多就没有讲解清楚，本文将会逐步解释weight decay机制。
1. 什么是权重衰减(Weight Decay)
Weight Decay是一个正则化技术，作用是抑制模型的过拟合，以此来提高模型的泛化性。
它是通过给损失函数增加模型权重L2范数的惩罚(penalty)来让模型权重不要太大，以此来减小模型的复杂度，从而抑制模型的过拟合。
看完上面那句话，可能很多人已经蒙圈了，这是在说啥。后面我会逐步进行解释，将会逐步回答以下问题：
- 什么是正则化？
- Weight Decay的减小模型参数的思想
- L1范数惩罚项和L2范数惩罚项是什么？
- 为什么Weight Decay参数是在优化器上，而不是在Loss上。
- weight decay的调参技巧
2. 什么是正则化？
正则化的目标是减小方差或是说减小数据扰动所造成的影响。 我们来看下图来理解一下这句话：
这幅图是随着训练次数，训练Loss和验证Loss的变化曲线。上面那条线是验证集的。很明显，这个模型出现了过拟合，因为随着训练次数的增加，训练Loss在下降，但是验证Loss却在上升。这里我们会引出三个概念：
- 方差(Variance)：刻画数据扰动所造成的影响。
- 偏差(Bias)：刻画学习算法本身的拟合能力。
- 噪声(Noise)：当前任务任何学习算法能达到的期望泛化误差的下界。也就是数据的噪声导致一定会出现的那部分误差。
通常不考虑噪声，所以偏差和噪声合并称为偏差。
2.1 什么数据扰动
上面说方差是“刻画数据扰动所造成的影响”，我们可以通过下面例子来理解这句话。
假设我们要预测一个 y = x y=x y=x 的模型：
绿色的线是真正的模型 y = x y=x y=x，蓝色的点是训练数据，红色的线是预测出的模型。这个训练数据点距离真实模型的偏离程度就是数据扰动。
如果我们使用数据扰动较小的数据，那么预测模型结果就会和真正模型的差距较小，例如：
当我们数据扰动越大，预测模型距离实际模型的差距就会越大。因此，我们减小过拟合就是让预测模型和真实模型尽可能的一致。通常有两种做法：
- 增加数据量和使用更好的数据。这也是最推荐的做法
- 然而，通常我们很难收集到更多的数据，所以此时就需要一些正则化技术来减小“数据扰动”对模型预测带来的影响。
3. 减小模型权重
权重衰减(Weight Decay)就是减小模型的权重大小，而减小模型的权重大小就可以降低模型的复杂度，使模型变得平滑，进而减小过拟合。
假设我们的模型为： y = w 0 + w 1 x + w 2 x 2 + w 2 x 2 + ⋯ + w n x n y = w_0 + w_1 x + w_2x^2 + w_2x^2 + \cdots +w_nx^n y=w0+w1x+w2x2+w2x2+⋯+wnxn，模型的参数为 W = ( w 0 , w 1 , w 2 , ⋯ , w n ) W=(w_0, w_1, w_2, \cdots, w_n) W=(w0,w1,w2,⋯,wn)
我们使用该模型根据一些训练数据点可能会学到如下的两种曲线：
很明显，蓝色的曲线显然过拟合了。如果我们观察 W W W 的话会发现，蓝色曲线的参数通常都比较大，而绿色曲线的参数通常都比较小。
上面只是直观的说一下。结论就是：模型权重数值越小，模型的复杂度越低。
该结论可以通过实验观察出来，也可以通过数学证明。（李沐说可以证明，感兴趣的同学可以搜一下）
4. 为Loss增加惩罚项
上面说了Weight Decay目的是要让模型权重小一点（控制在某一个范围内），以此来减小模型的复杂性，从而抑制过拟合。
而Weight Decay的具体做法就是在Loss后面增加一个权重的L2范数惩罚项。
4.1 通过公式理解Weight Decay
Weight Decay的具体公式就是：
L = L 0 + λ 2 ∣ ∣ W ∣ ∣ 2 L = L_0 + \frac{\lambda}{2}||W||^2 L=L0+2λ∣∣W∣∣2
其中 L 0 L_0 L0 是原本的Loss， λ \lambda λ 是一个超参，负责控制权重衰减的强弱。 ∣ ∣ W ∣ ∣ 2 ||W||^2 ∣∣W∣∣2 为模型参数的2范数的平方。
具体的，假设我们的模型有 n n n 个参数，即 W = [ w 1 , w 2 , ⋯ , w n ] W=[w_1, w_2, \cdots, w_n] W=[w1,w2,⋯,wn]，则 L L L 为：
L = L 0 + λ 2 ( w 1 2 + w 2 2 + ⋯ + w n 2 ) 2 = L 0 + λ 2 ( w 1 2 + w 2 2 + ⋯ + w n 2 ) \begin{aligned} L &= L_0 + \frac{\lambda}{2}\left( \sqrt{w_1^2+w_2^2+\cdots+w_n^2} \right) ^2 \\\\ &= L_0 + \frac{\lambda}{2}(w_1^2+w_2^2+\cdots+w_n^2) \end{aligned} L=L0+2λ(w12+w22+⋯+wn2)2=L0+2λ(w12+w22+⋯+wn2)
从上面的公式，我们可以很明显的得到如下结论：
- 模型的权重越大，Loss就会越大。
- λ \lambda λ 越大，权重衰减的就越厉害
- 若 λ \lambda λ 过大，那么原本Loss的占比就会较低，最后模型就光顾着让模型权重变小了，最终模型效果就会变差。
4.2 通过图像理解Weight Decay
接下来我们用图像来感受一下Weight Decay。假设我们的模型只有两个参数W1和W2，W1和W2与Loss=2有如下关系：
这个绿色的椭圆表示，当W1和W2取绿色椭圆上的点时，Loss都是2。所以，当我们没有惩罚项时，对于Loss=2，取椭圆上的这些点都可以。若取到右上角的点，那么 W1和W2 的值就会比较大，所以我们希望W1和W2尽量往左下靠。
因为我们的惩罚项是 w 1 2 + w 2 2 w_1^2 + w_2^2 w12+w22，我们将其图像画出来（ w 1 2 + w 2 2 = X w_1^2 + w_2^2= X w12+w22=X）。
上图我绘制了三条橘色图像，分别为
w
1
2
+
w
2
2
=
X
1
w_1^2 + w_2^2= X_1
w12+w22=X1，与椭圆无焦点。
w
1
2
+
w
2
2
=
X
2
w_1^2 + w_2^2= X_2
w12+w22=X2，与椭圆交于A点
w
1
2
+
w
2
2
=
X
3
w_1^2 + w_2^2= X_3
w12+w22=X3，与椭圆交于B,C两点
从上图可以看到，在不改变原Loss的情况下，(W1, W2)落在A点时，惩罚项最小，即 w 1 2 + w 2 2 w_1^2 + w_2^2 w12+w22 最小。
所以，我们增加2范数的惩罚，会让模型参数变小。
为什么1范数不好
可能有些同学比较好奇，为什么不取1范数，我们同样用图可以表示出来。我们将上述的2范数图像变成1范数图像（即 ∣ w 1 ∣ + ∣ w 2 ∣ = X |w_1| +|w_2|=X ∣w1∣+∣w2∣=X）：
上图我绘制了三条橘色图像，分别为
∣
w
1
∣
+
∣
w
2
∣
=
X
1
|w_1| + |w_2|= X_1
∣w1∣+∣w2∣=X1，与椭圆无焦点。
∣
w
1
∣
+
∣
w
2
∣
=
X
2
|w_1| + |w_2|= X_2
∣w1∣+∣w2∣=X2，与椭圆交于A点
∣
w
1
∣
+
∣
w
2
∣
=
X
3
|w_1| + |w_2|= X_3
∣w1∣+∣w2∣=X3，与椭圆交于B,C两点
与2范数同理，在不改变原Loss的情况下，(W1, W2)落在A点时，惩罚项最小，即 ∣ w 1 ∣ + ∣ w 2 ∣ |w_1| + |w_2| ∣w1∣+∣w2∣ 最小。
但这里有个问题，我们发现此时 w 1 w_1 w1 变成 0 了。这就是为什么我们通常不用1范数，因为1范数会倾向于让一部分权重变成0。
更高的范数同理，可以参考“什么是范数（Norm），其具有哪些性质”这篇博客来感受一下每个范数不同的图像，然后将其套到上面的图中，感受一下其他范数。
5. Weight Decay的实现
通常我们在使用Weight Decay是在优化器(Optimizer)上，这就很奇怪了，上面明明都是在说Loss，为什么weight decay参数是在优化器上呢？
这是因为它们是等价的。这个很容易推导，我们用SGD来举例，SGD的更新参数的过程为：
w i ← w i − γ ∂ L ∂ w i w_i \gets w_i - \gamma \frac{\partial L}{\partial w_i} wi←wi−γ∂wi∂L
其中 γ \gamma γ 是学习率。
我们将 L = L 0 + λ 2 ∣ ∣ W ∣ ∣ 2 L = L_0 + \frac{\lambda}{2}||W||^2 L=L0+2λ∣∣W∣∣2 带进来求一下可得：
w i − γ ∂ L ∂ w i = w i − γ ( ∂ L 0 ∂ w i + λ w i ) \begin{aligned} & w_i - \gamma \frac{\partial L}{\partial w_i} \\\\ = & w_i - \gamma (\frac{\partial L_0}{\partial w_i} + \lambda w_i) \end{aligned} =wi−γ∂wi∂Lwi−γ(∂wi∂L0+λwi)
其中 ∂ L 0 ∂ w i \frac{\partial L_0}{\partial w_i} ∂wi∂L0 就是原本的梯度，所以我们为Loss增加L2正则项只需要在更新参数时，给模型的梯度加一个 λ w i \lambda w_i λwi 即可。
对应Pytorch的实现如下图：
6. weight_decay的一些trick
- weight_decay并没有你想想中的那么好，它的效果可能只有一点点，不要太指望它。尤其是当你的模型很复杂时，权重衰退的效果可能会更小了。
- 通常取1e-3，如果要尝试的话，一般也就是1e-2, 1e-3, 1e-4 这些选项。
- 权重衰退通常不对bias做。但通常bias做不做权重衰退其实效果差不多，不过最好不要做。
- weight_decay取值越大，对抑制模型的强度越大。但这并不说明越大越好，太大的话，可能会导致模型欠拟合。
针对第三点：对于一个二维曲线，bias只是让曲线整体上下移动，并不能减小模型的复杂度，所以通常不需要对bias做正则化。
参考资料
正则化之weight_decay(深度之眼): https://www.bilibili.com/video/BV1HB4y1i7Fn
权重衰退(李沐): https://www.bilibili.com/video/BV1UK4y1o7dy文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-433618.html
从拉格朗日乘数法角度理解L1L2正则: https://www.bilibili.com/video/BV1Z44y147xA文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-433618.html
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