六、BLDC矢量控制基础知识：滑膜观测器原理-Toy模板网

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滑膜观测器原理

这是一篇关于滑膜观测器原理的学习笔记

前言

当无刷电机使用FOC控制时，需要获得转子位置和角速度信息，当没有传感器的时候，已经有大量的算法用于解决这一问题，有一类处理办法是使用观测器来估计转子的位置，在众多解决方案中滑膜观测器有着广泛的应用。下面将我一个小白从无到有的学习过程分享一下。
这里学习到的滑膜观测器的知识来源于《彻底吃透滑模观测器（PMSM无感算法）（理论精讲+推导+算法+调参+硬件运行）》，感谢大佬的分享。

一、估计转子位置的基本逻辑， α , β \alpha,\beta α,β坐标系

当没有位置检测传感器的时候，我们需要估计转子的位置等信息。通过查找网上的资料，了解到普遍的做法是在两相静止坐标 $\alpha,\beta$ 下来估测转子角度。开始我也不太明白是怎么回事，后来过了很久才反应过来，最终理清了其中的逻辑：
首先，我得想明白 $\alpha,\beta$ 坐标系下的电压电流虽然不是直接可测的，但三相电压电流确实实实在在可测的物理量，我们只需要通过一个Clarke变换就可以得到 $\alpha,\beta$ 坐标系下的电压电流，而Clarke变换确实与转子角度无关的变换。
其次，由于 $\alpha,\beta$ 到 $d q$ 坐标就是一个旋转的关系，因此可以利用这层关系估计转子的位置和角速度。

二、从 α , β \alpha,\beta α,β电压方程到状态方程

通过前面的努力(参考《五、BLDC矢量控制基础知识：BLDC模型的基本方程》)，我们已经得到 $\alpha,\beta$ 下的电压：
$\alpha\beta$ 坐标混合电压方程完整形式：
$\begin{aligned} \begin{bmatrix}u_\alpha\\u_\beta\end{bmatrix} &=R\begin{bmatrix}i_\alpha\\i_\beta\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}L_d&0\\0&L_d\end{bmatrix}\frac{d}{dt}\begin{bmatrix}i_\alpha\\i_\beta\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&{\omega}(L_d-L_q)\\-{\omega}(L_d-L_q)&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_\alpha\\i_\beta\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}E_\alpha\\E_\beta\end{bmatrix} \end{aligned} ……1$
其中：
$\begin{aligned} \begin{bmatrix}E_\alpha\\E_\beta\end{bmatrix}=(\omegaψ_f+(L_d-L_q)({\omega}i_d-\frac{di_q}{dt}))\begin{bmatrix}-sin\theta\\cos\theta\end{bmatrix} \end{aligned} ……2$
根据方程1的物理意义，也可以称该项为反电动势项。

在讨论之前，我们可以明显看出方程2可以用来计算转子旋转角度 $\theta$ 。

把方程1写成状态方程的样子：
$\begin{aligned} \frac{d}{dt}\begin{bmatrix}i_\alpha\\i_\beta\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-\frac{R}{L_d}&-\frac{{\omega}(L_d-L_q)}{L_d}\\\frac{{\omega}(L_d-L_q)}{L_d}&-\frac{R}{L_d}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_\alpha\\i_\beta\end{bmatrix} +\frac{1}{L_d}\begin{bmatrix}u_\alpha\\u_\beta\end{bmatrix} -\frac{1}{L_d}\begin{bmatrix}E_\alpha\\E_\beta\end{bmatrix} \end{aligned}$

三、滑膜观测器

现代控制理论中，对于不能直接观测的量一般使用观测器进行来估计状态，这里先构造一个用于估计的观测器方程：
$\begin{aligned} \frac{d}{dt}\begin{bmatrix}\hat{i}_\alpha\\\hat{i}_\beta\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-\frac{R}{L_d}&-\frac{{\omega}(L_d-L_q)}{L_d}\\\frac{{\omega}(L_d-L_q)}{L_d}&-\frac{R}{L_d}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\hat{i}_\alpha\\\hat{i}_\beta\end{bmatrix} +\frac{1}{L_d}\begin{bmatrix}u_\alpha\\u_\beta\end{bmatrix} -\frac{1}{L_d}\begin{bmatrix}v_\alpha\\v_\beta\end{bmatrix} \end{aligned}$

其中：
$\hat{i}$ 是观测器估计出来的电流
$v$ 是输入控制量
我们的依据是通过控制开关量 $v_{\alpha,\beta}$ ，让观测器估计出来的电流 $\hat{i}_{\alpha,\beta}$ 趋向于 $i_{\alpha,\beta}$ ，那么平均来看，可能应该有 $v_{\alpha,\beta}{\rightarrow}E_{\alpha,\beta}$ 吧。

为了仔细分析观测器的行为，我们用下面的式子和上面的式子相减，并记 $\tilde{i}=\hat{i}-i$ ，表示观测器控制得到的电流和实际电流的差值。则得到下面的式子：
$\begin{aligned} \frac{d}{dt}\begin{bmatrix}\tilde{i}_\alpha\\\tilde{i}_\beta\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-\frac{R}{L_d}&-\frac{{\omega}(L_d-L_q)}{L_d}\\\frac{{\omega}(L_d-L_q)}{L_d}&-\frac{R}{L_d}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\tilde{i}_\alpha\\\tilde{i}_\beta\end{bmatrix} +\frac{1}{L_d}\begin{bmatrix}E_\alpha-v_\alpha\\E_\beta-v_\beta\end{bmatrix} \end{aligned} ……3$
首先可以看到，如果已经有， $\tilde{i}_{\alpha,\beta} = 0$ ，则真的有 $v_{\alpha,\beta}{\rightarrow}E_{\alpha,\beta}$ 。
观察上述方程，如果对控制原理有所了解，一定可以注意到：要达到我们的目的，需要一个策略把 $\tilde{i}_{\alpha,\beta}$ 控制在0附近了。这里采用一个非常暴力的控制方法(也可以说成是鲁棒性很强的控制)：
1.如果观测器估计的电流 $\hat{i}_{\alpha,\beta}$ 大于了实际电流 $i_{\alpha,\beta}$ ，则我们给出足够大的负向控制量，这个控制量将把 $\hat{i}_{\alpha,\beta}$ 的微分变成负的，从而试图把估计电流降低到实际电流处。
2.如果观测器估计的电流 $\hat{i}_{\alpha,\beta}$ 小于了实际电流 $i_{\alpha,\beta}$ ，则我们给出足够大的正向控制量，这个控制量将把 $\hat{i}_{\alpha,\beta}$ 的微分变成正的，从而试图把估计电流提升到实际电流处。
这个控制方法从概念上理解起来非常直观了，这样的控制方法应该就是滑膜控制了，为什么叫滑膜？可能是因为在相图上控制了相点的滑动方向吧。所以基于这种控制方法的观测器就叫滑膜观测器吧。

作为实际技术的原理，我们需要给出一个实际的滑膜控制方法，并且事先证明它的稳定性。
根据人云亦云做法，我准备设控制输入：
$\begin{aligned} \begin{bmatrix}v_\alpha\\v_\beta\end{bmatrix}=h\begin{bmatrix}sign(\hat{i}_\alpha-i_\alpha)\\sign(\hat{i}_\beta-i_\beta)\end{bmatrix}=h\begin{bmatrix}sign(\tilde{i}_\alpha)\\sign(\tilde{i}_\beta)\end{bmatrix} \end{aligned} ……4$

稳定性证明：
做李亚普洛夫函数： $V(\tilde{i}_\alpha,\tilde{i}_\beta)=\frac{1}{2}(\tilde{i}_\alpha\tilde{i}_\alpha+\tilde{i}_\beta\tilde{i}_\beta)$
显然上述函数是正定的，那么我们来对它求导：
$\frac{dV}{dt}=\tilde{i}_\alpha\frac{d\tilde{i}_\alpha}{dt}+\tilde{i}_\beta\frac{d\tilde{i}_\beta}{dt}$
带入3式得到：
$\begin{aligned} &\frac{dV}{dt}=\begin{bmatrix}\tilde{i}_\alpha&\tilde{i}_\beta\end{bmatrix}\frac{d}{dt}\begin{bmatrix}\tilde{i}_\alpha\\\tilde{i}_\beta\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}\tilde{i}_\alpha&\tilde{i}_\beta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-\frac{R}{L_d}&-\frac{{\omega}(L_d-L_q)}{L_d}\\\frac{{\omega}(L_d-L_q)}{L_d}&-\frac{R}{L_d}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\tilde{i}_\alpha\\\tilde{i}_\beta\end{bmatrix} +\frac{1}{L_d}\begin{bmatrix}\tilde{i}_\alpha&\tilde{i}_\beta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_\alpha-v_\alpha\\E_\beta-v_\beta\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}\tilde{i}_\alpha&\tilde{i}_\beta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-\frac{R}{L_d}&-\frac{{\omega}(L_d-L_q)}{L_d}\\\frac{{\omega}(L_d-L_q)}{L_d}&-\frac{R}{L_d}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\tilde{i}_\alpha\\\tilde{i}_\beta\end{bmatrix} +\frac{1}{L_d}\begin{bmatrix}\tilde{i}_\alpha&\tilde{i}_\beta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_\alpha\\E_\beta\end{bmatrix} -\frac{1}{L_d}\begin{bmatrix}\tilde{i}_\alpha&\tilde{i}_\beta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_\alpha\\v_\beta\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}\tilde{i}_\alpha&\tilde{i}_\beta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-\frac{R}{L_d}&-\frac{{\omega}(L_d-L_q)}{L_d}\\\frac{{\omega}(L_d-L_q)}{L_d}&-\frac{R}{L_d}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\tilde{i}_\alpha\\\tilde{i}_\beta\end{bmatrix} +\frac{1}{L_d}\begin{bmatrix}\tilde{i}_\alpha&\tilde{i}_\beta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_\alpha\\E_\beta\end{bmatrix} -\frac{h}{L_d}(\tilde{i}_{\alpha}sign(\tilde{i}_{\alpha})+\tilde{i}_{\beta}sign(\tilde{i}_{\beta})) \end{aligned} ……5$

观察5式，它右边前两项都是有限项，而第三项括号中无论何总情况都是正数，所以只要h足够大，我们就可以使得整个式子为负定的，这个控制系统是渐进稳定的。
也就是随着我们控制的进行，一定有 $\hat{i}_{\alpha,\beta}{\rightarrow}i_{\alpha,\beta}$ ，我们的想法就得以实现，具体的h值确定，可以依据5式来估计。

我们还有我们从3式，得到 $v_{\alpha,\beta}{\rightarrow}E_{\alpha,\beta}$ ，但我们实际的控制方式式开关控制(4式)，所以并不能完全得到这个关系，我们只能说 $v_{\alpha,\beta}$ 对时间取平均值后 ${\rightarrow}E_{\alpha,\beta}$ ，就像PWM调制那样。不过这已经不是什么大的问题了，不是吗？

四、关于观测方程中的角速度的疑问

到目前为止我们已经理清了获取反电动势 $E_{\alpha,\beta}$ 的步骤，这样就可以通过各种手段获得 $\hat{\theta},\hat{\omega}$ 。
但回过头仔细审查我们建立的观测器的过程，观测器方程还是知道电角速度 $\omega$ 。呃咋办？？？
首先当使用表贴的电机时，有 $L_d=L_q$ ，观测器方程中不会要求使用 $\omega$ ，上面的理论肯定是有效的。
问题在于使用凸极电机时， $L_d≠L_q$ ，观测器方程会使用 $\omega$ ，这样就麻烦了。当然我们仍然可以使用估计的角速度 $\hat{\omega}$ 来计算观测器方程，这时观测器方程右边的项会有变化，如下所示：
$\begin{aligned} \frac{d}{dt}\begin{bmatrix}\hat{i}_\alpha\\\hat{i}_\beta\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-\frac{R}{L_d}&-\frac{\hat{\omega}(L_d-L_q)}{L_d}\\\frac{\hat{\omega}(L_d-L_q)}{L_d}&-\frac{R}{L_d}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\hat{i}_\alpha\\\hat{i}_\beta\end{bmatrix} +\frac{1}{L_d}\begin{bmatrix}u_\alpha\\u_\beta\end{bmatrix} -\frac{1}{L_d}\begin{bmatrix}v_\alpha\\v_\beta\end{bmatrix} \end{aligned}$

仿效前面的分析过程，我们用它和状态方程相减

通过前面的稳定性分析过程可知，当然和之前一样只要控制增益 $h$ 足够大，控制规律仍然可以保证 $\hat{i}_{\alpha,\beta}{\rightarrow}i_{\alpha,\beta}$ ，但问题在于这样做，如何保证 $\hat{\omega}{\rightarrow}\omega$ ？
希望大牛看到能指点一二。

五、估计角度和角速度

这一点理解起来不难，我们已经得到 $v_{\alpha,\beta}{\rightarrow}E_{\alpha,\beta}$ ，那么通过2式用分量相比的方法利用反正切求出角度，并且得到角度后我们通过一定的时间就可以获得角速度。
另外还有类似于PLL的很多其他的方法来解算角度和角速度，这里就不献丑了。