矩阵分析——矩阵分解-Toy模板网

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矩阵分解指的是将复杂的矩阵分解成比较简单的矩阵的乘积的形式。在数值代数、矩阵论和最优化应用。

三角分解：

矩阵的三角分解：将一个方阵 $\pmb{A}$ 分解成一个下三角阵 $\pmb{L}$ 和一个上三角矩阵 $\pmb{R}$ 的乘积，即 $\pmb{A}=\pmb{L}\pmb{R}$ 。

充分必要条件： $\pmb{A}$ 的各阶顺序主子阵可逆。

分解的方法：只需要对矩阵 $(\pmb{A},\pmb{E})$ 初等变换成上下三角的形式，就可以得到上三角和下三角矩阵。

满秩分解：

满秩矩阵：矩阵 $\pmb{A}$ 的行(列)向量线性无关，则称 $\pmb{A}$ 是行(列)满秩矩阵。

满秩分解：设 $\pmb{A}$ 是 $m\times n$ 阵， $\pmb{A}$ 的秩 $r$ ，则存在 $m\times r$ 列满秩矩阵 $\pmb{F}$ 和 $r\times n$ 行满秩矩阵 $\pmb{G}$ ，使得 $\pmb{A}=\pmb{F} \pmb{G}$ 。

分解的方法：将矩阵 $\pmb{A}$ 使用初等变换化成阶梯形，然后根据行和列的线性无关组构造出列满秩和行满秩矩阵。

正交满秩分解定理：设 $\pmb{A}$ 是 $m\times n$ 阶实矩阵， $\pmb{A}$ 的秩是 $r$ ，则存在 $m\times r$ 列正交矩阵 $\pmb{W}$ 和行满秩的 $\times n$ 阵 $\pmb{R}$ ，使得 $\pmb{A}=\pmb{W}\pmb{R}$ 。其中 $\pmb{W}$ 满足 $\pmb{W}^T\pmb{W}=\pmb{E}_r$ 。

谱分解：

矩阵的谱分解：若 $\pmb{A}$ 可对角化，即存在可逆矩阵 $\pmb{P}$ ，使得 $\pmb{P}^{-1}\pmb{A}\pmb{P}=diag\{\lambda_1, \lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$ ，其中的 $\{\lambda_1, \lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$ 是矩阵的特征值。设 $\pmb{P}=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n),\! \pmb{P}^{-1}=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)^T$ .则：
$\pmb{A}=\sum_{i=1}^n\lambda_i\pmb{\alpha}_i\pmb{\beta}_i^T$
矩阵谱分解的必要条件：矩阵可对角化。

分解的方法：求 $\pmb{A}$ 的特征值和特征向量，特征向量组成的矩阵求逆。

奇异值分解：

奇异值分解：设 $\pmb{A}$ 是 $m\times n$ 的实矩阵，半正定矩阵 $\pmb{A}^T\pmb{A}$ 的n个特征值是 $\lambda_1, \lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 。显然 $\lambda_i\geq 0$ .称 $\sigma_i=\sqrt{\lambda_i},(i=1,2,\cdots,n)$ 是矩阵的奇异值。设奇异值中有 $r$ 个不等于0，记作 $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \cdots \geq \sigma_r > 0$ ,并且设矩阵 $\pmb{D}=diag\{\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_r \}$ 。令 $\times n$ 阶矩阵 $\Sigma$ :
$\pmb{\Sigma}=\begin{bmatrix} \pmb{D} & \pmb{O} \\ \pmb{O} & \pmb{O}\end{bmatrix}$
则存在正交矩阵 $\pmb{U}$ 和 $\pmb{V}$ :
$\pmb{A}=\pmb{U}\pmb{\Sigma}\pmb{V}^T$
分解方法：求 $\pmb{A}^T\pmb{A}$ 的特征值和特征向量。由特征值求奇异值，由特征向量单位正交化求得 $\pmb{V}$ ，再由 $\pmb{D}$ 和 $\pmb{V}$ 求得 $\pmb{D}$ 。