∫ e e 3 4 d x x ln x ( 1 − ln x ) \int_{\sqrt{e}}^{e^{\frac{3}{4}}}\frac{{\rm d}x}{x\sqrt{\ln x(1-\ln x)}} ∫ee43xlnx(1−lnx)dx
首先，观察到根号下两项都有lnx,而分子下面又有x，所以不难想到凑微分法。
原式
=
∫
e
e
3
4
d
(
ln
x
)
ln
x
(
1
−
ln
x
)
=\int_{\sqrt{e}}^{e^{\frac{3}{4}}}\frac{{\rm d}(\ln x)}{\sqrt{\ln x(1-\ln x)}}
=∫ee43lnx(1−lnx)d(lnx)
这时进一步观察，如果知道：
∫ d x x = 2 x + C \int\frac{{\rm d}x}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C ∫xdx=2x+C
那么可以进一步凑微分
=
∫
e
e
3
4
2
d
(
ln
x
)
1
−
(
ln
x
)
2
=\int_{\sqrt{e}}^{e^{\frac{3}{4}}}\frac{2{\rm d}(\sqrt{\ln x})}{\sqrt{1-(\sqrt{\ln x})^{2}}}
=∫ee431−(lnx)22d(lnx)
将 d 后面的 ln x 看作一个整体，可以进行换元 将d后面的\sqrt{\ln x}看作一个整体，可以进行换元 将d后面的lnx看作一个整体，可以进行换元
但要注意上下限！！！
令
t
=
ln
x
令t=\sqrt{\ln x}
令t=lnx
原式
=
∫
1
2
3
4
2
d
t
1
−
t
2
原式=\int_{\frac{1}{2}} ^ {\frac{3}{4}}\frac{2{\rm d}t}{\sqrt{1-t^2}}
原式=∫21431−t22dt
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C \int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,{\rm d}x=\arcsin x+C ∫1−x21dx=arcsinx+C文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-433823.html
原式
=
2
arcsin
t
∣
1
2
3
4
原式=2\arcsin t|_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}}
原式=2arcsint∣2143
=
2
(
arcsin
3
4
−
arcsin
1
2
)
=2(\arcsin {\frac{3}{4}}-\arcsin {\frac{1}{2}})
=2(arcsin43−arcsin21)
=
π
6
=\frac{\pi}{6}
=6π文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-433823.html
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