武忠祥老师每日一题||定积分基础训练(七)

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∫ e e 3 4 d x x ln ⁡ x ( 1 − ln ⁡ x ) \int_{\sqrt{e}}^{e^{\frac{3}{4}}}\frac{{\rm d}x}{x\sqrt{\ln x(1-\ln x)}} e e43xlnx(1lnx) dx


首先,观察到根号下两项都有lnx,而分子下面又有x,所以不难想到凑微分法。

原式
= ∫ e e 3 4 d ( ln ⁡ x ) ln ⁡ x ( 1 − ln ⁡ x ) =\int_{\sqrt{e}}^{e^{\frac{3}{4}}}\frac{{\rm d}(\ln x)}{\sqrt{\ln x(1-\ln x)}} =e e43lnx(1lnx) d(lnx)

这时进一步观察,如果知道:
∫ d x x = 2 x + C \int\frac{{\rm d}x}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C x dx=2x +C
那么可以进一步凑微分


= ∫ e e 3 4 2 d ( ln ⁡ x ) 1 − ( ln ⁡ x ) 2 =\int_{\sqrt{e}}^{e^{\frac{3}{4}}}\frac{2{\rm d}(\sqrt{\ln x})}{\sqrt{1-(\sqrt{\ln x})^{2}}} =e e431(lnx )2 2d(lnx )

将 d 后面的 ln ⁡ x 看作一个整体,可以进行换元 将d后面的\sqrt{\ln x}看作一个整体,可以进行换元 d后面的lnx 看作一个整体,可以进行换元
但要注意上下限!!!


令 t = ln ⁡ x 令t=\sqrt{\ln x} t=lnx
原式 = ∫ 1 2 3 4 2 d t 1 − t 2 原式=\int_{\frac{1}{2}} ^ {\frac{3}{4}}\frac{2{\rm d}t}{\sqrt{1-t^2}} 原式=21431t2 2dt

∫ 1 1 − x 2   d x = arcsin ⁡ x + C \int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,{\rm d}x=\arcsin x+C 1x2 1dx=arcsinx+C

原式 = 2 arcsin ⁡ t ∣ 1 2 3 4 原式=2\arcsin t|_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}} 原式=2arcsint2143
= 2 ( arcsin ⁡ 3 4 − arcsin ⁡ 1 2 ) =2(\arcsin {\frac{3}{4}}-\arcsin {\frac{1}{2}}) =2(arcsin43arcsin21)
= π 6 =\frac{\pi}{6} =6π
文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-433823.html

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