《编程思维与实践》1042.字串变换
题目
思路
分两步解决:
1.判断是否可以通过两种变换使所有的字符串变得相同;
2.在能变换的前提下使变换的次数最少。
其中第一步可以将每个字符串的基底(将连续重复出现的字符视为一个字符)求出来,
如: aaabbb的基底就是ab,进而只需判断基底是否相同即可;
第二步考虑贪心算法,只需要将每个基底变为相同实际字符数的变换次数最少即可,转化为数学语言也就是
如果一个字符a出现的次数分别为 x 1 , x 2 . . . x n x_1,x_2...x_n x1,x2...xn , 需求出 i ∈ 1 , 2... n i\in{1,2...n} i∈1,2...n , 使得 ( ∣ x i − x 1 ∣ + . . . + ∣ x i − x n ∣ ) m i n (|x_i-x_1|+...+|x_i-x_n|)_{min} (∣xi−x1∣+...+∣xi−xn∣)min ,
只需要找到 x 1 , x 2 . . . x n x_1,x_2...x_n x1,x2...xn的中位数(偶数情况为中间两个数的其中一个)即可,将每一步与中位数作差取绝对值,即可求出变换的最少次数.
下面为可行性的说明:
当 n = 2 n=2 n=2 时函数图像为:
此时函数在[a,b]中取最小值,特别地,如果函数是离散的,那么在中间两个数处取最小值;
当 n = 3 n=3 n=3时函数图像为:
此时函数在a,b,c的中位数处取最小值;
更一般的证明:
将 x 1 , x 2 . . . x n 升序排列 , 即 x 1 < x 2 < . . < x n , 当 n 为偶数时 ( n = 2 k ) : ∑ i = 1 2 k ∣ x − x i ∣ = ∑ i = 1 k ( ∣ x − x i ∣ + ∣ x − x 2 k + 1 − i ∣ ) ≥ ∑ i = 1 k ( x 2 k + 1 − i − x i ) 当 x ∈ [ x i , x 2 k + 1 − i ] , ∀ i ∈ 1 , 2... k 时上述等号成立 , 故当函数连续时 , 在中间两个数之间取最小值 , 函数离散时 , 在中间两个数处取最小值 ; 当 n 为奇数时 ( n = 2 k + 1 ) : ∑ i = 1 2 k + 1 ∣ x − x i ∣ = ∣ x − x k + 1 ∣ + ∑ i = 1 k ( ∣ x − x i ∣ + ∣ x − x 2 k + 2 − i ∣ ) ≥ ∣ x − x k + 1 ∣ + ∑ i = 1 k ( x 2 k + 2 − i − x i ) 当 x ∈ [ x i , x 2 k + 2 − i ] , ∀ i ∈ 1 , 2... k 时上述等号成立 , ≥ ∑ i = 1 k ( x 2 k + 2 − i − x i ) 当且仅当 x = x k + 1 时成立 . 所以无论函数离散或者连续 , 都是在中位数处取最小值 . 将x_1,x_2...x_n升序排列,即x_1<x_2<..<x_n,\\ 当n为偶数时(n=2k):\sum_{i=1}^{2k}|x-x_i|=\sum_{i=1}^{k}(|x-x_i|+|x-x_{2k+1-i}|) ≥\sum_{i=1}^{k}(x_{2k+1-i}-x_i)\\ 当x\in[x_i,x_{2k+1-i}],\forall i\in{1,2...k}时上述等号成立,\\ 故当函数连续时,在中间两个数之间取最小值,函数离散时,在中间两个数处取最小值;\\ 当n为奇数时(n=2k+1):\sum_{i=1}^{2k+1}|x-x_i|=|x-x_{k+1}|+\sum_{i=1}^{k}(|x-x_i|+|x-x_{2k+2-i}|)\\ ≥|x-x_{k+1}|+\sum_{i=1}^{k}(x_{2k+2-i}-x_i)\\ 当x\in[x_i,x_{2k+2-i}],\forall i\in{1,2...k}\,时上述等号成立,\\ ≥\sum_{i=1}^{k}(x_{2k+2-i}-x_i) \quad 当且仅当x=x_{k+1}时成立.\\ 所以无论函数离散或者连续,都是在中位数处取最小值. 将x1,x2...xn升序排列,即x1<x2<..<xn,当n为偶数时(n=2k):i=1∑2k∣x−xi∣=i=1∑k(∣x−xi∣+∣x−x2k+1−i∣)≥i=1∑k(x2k+1−i−xi)当x∈[xi,x2k+1−i],∀i∈1,2...k时上述等号成立,故当函数连续时,在中间两个数之间取最小值,函数离散时,在中间两个数处取最小值;当n为奇数时(n=2k+1):i=1∑2k+1∣x−xi∣=∣x−xk+1∣+i=1∑k(∣x−xi∣+∣x−x2k+2−i∣)≥∣x−xk+1∣+i=1∑k(x2k+2−i−xi)当x∈[xi,x2k+2−i],∀i∈1,2...k时上述等号成立,≥i=1∑k(x2k+2−i−xi)当且仅当x=xk+1时成立.所以无论函数离散或者连续,都是在中位数处取最小值.
注意的点:
1.以aaabbc 为例:先存a然后找到第一个与a不同的字符,这里采用后一个与前一个比较的方式(前一个与后一个比较也可以,稍微更换一下处理方式即可).
2.由于 n < 1 0 5 n<10^5 n<105 且字符长度不超过100所以变换数最多不超过 1 0 7 10^7 107,用int存即可.文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-434144.html
3.绝对值函数abs针对int类型,llabs针对long long 类型(整数绝对值在stdlib.h头文件),fabs针对double类型(浮点数在math.h头文件).文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-434144.html
代码
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
typedef struct{char a[100];int count[100];}Data; //a存基底 count存实际连续相同字符个数
int cmp(const void *a,const void *b) //升序
{
int *m=(int*)a;
int *n=(int*)b;
return *m-*n;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
int sum=0; //统计总次数
Data tab[n+1]; //最后一组存中位数
for(int i=0;i<n+1;i++)
{
for(int j=0;j<100;j++)
{
tab[i].count[j]=0;
}
}
for(int i=0;i<n;i++)
{
char s[101];
scanf("%s",s);
int j=0;
for(int k=0;k<strlen(s);k++)
{
tab[i].a[j]=s[k];
tab[i].count[j]++;
while(s[k+1]==s[k]) //后一个与前一个相同
{
tab[i].count[j]++;
k++;
}
j++;
}
tab[i].a[j]='\0';
}
int flag=0; //判断基底是否相同
for(int i=0;i<n-1;i++)
{
if(strcmp(tab[i].a,tab[i+1].a)) //不为0表示基底不同
{
flag=1;
break;
}
}
if(flag)
{
printf("-1\n");
}
else
{
int temp[n]; //找中位数
for(int j=0;j<100;j++) //遍历每个基底的实际连续字符数
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
temp[i]=tab[i].count[j];
}
qsort(temp,n,sizeof(int),cmp);
tab[n].count[j]=temp[n/2]; //升序后找到中位数(中间两个数的其中一个)存在最后一组里
}
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<100;j++)
{
sum+=abs(tab[i].count[j]-tab[n].count[j]); //与最后一组作差取绝对值
}
}
printf("%d\n",sum);
}
return 0;
}
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