《编程思维与实践》1042.字串变换

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《编程思维与实践》1042.字串变换

题目

《编程思维与实践》1042.字串变换
《编程思维与实践》1042.字串变换

思路

分两步解决:

1.判断是否可以通过两种变换使所有的字符串变得相同;

2.在能变换的前提下使变换的次数最少。

其中第一步可以将每个字符串的基底(将连续重复出现的字符视为一个字符)求出来,

如: aaabbb的基底就是ab,进而只需判断基底是否相同即可;

第二步考虑贪心算法,只需要将每个基底变为相同实际字符数的变换次数最少即可,转化为数学语言也就是

如果一个字符a出现的次数分别为 x 1 , x 2 . . . x n x_1,x_2...x_n x1,x2...xn , 需求出 i ∈ 1 , 2... n i\in{1,2...n} i1,2...n , 使得 ( ∣ x i − x 1 ∣ + . . . + ∣ x i − x n ∣ ) m i n (|x_i-x_1|+...+|x_i-x_n|)_{min} (xix1+...+xixn)min ,

只需要找到 x 1 , x 2 . . . x n x_1,x_2...x_n x1,x2...xn的中位数(偶数情况为中间两个数的其中一个)即可,将每一步与中位数作差取绝对值,即可求出变换的最少次数.

下面为可行性的说明:

n = 2 n=2 n=2 时函数图像为:
《编程思维与实践》1042.字串变换
此时函数在[a,b]中取最小值,特别地,如果函数是离散的,那么在中间两个数处取最小值;

n = 3 n=3 n=3时函数图像为:
《编程思维与实践》1042.字串变换
此时函数在a,b,c的中位数处取最小值;

更一般的证明:
将 x 1 , x 2 . . . x n 升序排列 , 即 x 1 < x 2 < . . < x n , 当 n 为偶数时 ( n = 2 k ) : ∑ i = 1 2 k ∣ x − x i ∣ = ∑ i = 1 k ( ∣ x − x i ∣ + ∣ x − x 2 k + 1 − i ∣ ) ≥ ∑ i = 1 k ( x 2 k + 1 − i − x i ) 当 x ∈ [ x i , x 2 k + 1 − i ] , ∀ i ∈ 1 , 2... k 时上述等号成立 , 故当函数连续时 , 在中间两个数之间取最小值 , 函数离散时 , 在中间两个数处取最小值 ; 当 n 为奇数时 ( n = 2 k + 1 ) : ∑ i = 1 2 k + 1 ∣ x − x i ∣ = ∣ x − x k + 1 ∣ + ∑ i = 1 k ( ∣ x − x i ∣ + ∣ x − x 2 k + 2 − i ∣ ) ≥ ∣ x − x k + 1 ∣ + ∑ i = 1 k ( x 2 k + 2 − i − x i ) 当 x ∈ [ x i , x 2 k + 2 − i ] , ∀ i ∈ 1 , 2... k   时上述等号成立 , ≥ ∑ i = 1 k ( x 2 k + 2 − i − x i ) 当且仅当 x = x k + 1 时成立 . 所以无论函数离散或者连续 , 都是在中位数处取最小值 . 将x_1,x_2...x_n升序排列,即x_1<x_2<..<x_n,\\ 当n为偶数时(n=2k):\sum_{i=1}^{2k}|x-x_i|=\sum_{i=1}^{k}(|x-x_i|+|x-x_{2k+1-i}|) ≥\sum_{i=1}^{k}(x_{2k+1-i}-x_i)\\ 当x\in[x_i,x_{2k+1-i}],\forall i\in{1,2...k}时上述等号成立,\\ 故当函数连续时,在中间两个数之间取最小值,函数离散时,在中间两个数处取最小值;\\ 当n为奇数时(n=2k+1):\sum_{i=1}^{2k+1}|x-x_i|=|x-x_{k+1}|+\sum_{i=1}^{k}(|x-x_i|+|x-x_{2k+2-i}|)\\ ≥|x-x_{k+1}|+\sum_{i=1}^{k}(x_{2k+2-i}-x_i)\\ 当x\in[x_i,x_{2k+2-i}],\forall i\in{1,2...k}\,时上述等号成立,\\ ≥\sum_{i=1}^{k}(x_{2k+2-i}-x_i) \quad 当且仅当x=x_{k+1}时成立.\\ 所以无论函数离散或者连续,都是在中位数处取最小值. x1,x2...xn升序排列,x1<x2<..<xn,n为偶数时(n=2k):i=12kxxi=i=1k(xxi+xx2k+1i)i=1k(x2k+1ixi)x[xi,x2k+1i],i1,2...k时上述等号成立,故当函数连续时,在中间两个数之间取最小值,函数离散时,在中间两个数处取最小值;n为奇数时(n=2k+1):i=12k+1xxi=xxk+1+i=1k(xxi+xx2k+2i)xxk+1+i=1k(x2k+2ixi)x[xi,x2k+2i],i1,2...k时上述等号成立,i=1k(x2k+2ixi)当且仅当x=xk+1时成立.所以无论函数离散或者连续,都是在中位数处取最小值.

注意的点:

1.以aaabbc 为例:先存a然后找到第一个与a不同的字符,这里采用后一个与前一个比较的方式(前一个与后一个比较也可以,稍微更换一下处理方式即可).

2.由于 n < 1 0 5 n<10^5 n<105 且字符长度不超过100所以变换数最多不超过 1 0 7 10^7 107,用int存即可.

3.绝对值函数abs针对int类型,llabs针对long long 类型(整数绝对值在stdlib.h头文件),fabs针对double类型(浮点数在math.h头文件).文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-434144.html

代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>

typedef struct{char a[100];int count[100];}Data;  //a存基底 count存实际连续相同字符个数

int cmp(const void *a,const void *b)  //升序
{
	int *m=(int*)a;
	int *n=(int*)b;
	return *m-*n;
}

int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	int sum=0;    //统计总次数
	Data tab[n+1];    //最后一组存中位数   
	for(int i=0;i<n+1;i++)
	{
		for(int j=0;j<100;j++)
		{
			tab[i].count[j]=0;
		}
	}
	
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		char s[101];
		scanf("%s",s);
		int j=0;
		for(int k=0;k<strlen(s);k++)
		{
            tab[i].a[j]=s[k];
            tab[i].count[j]++;
            while(s[k+1]==s[k])  //后一个与前一个相同
            {
                tab[i].count[j]++;
                k++;
            } 
            j++;
		}	
		tab[i].a[j]='\0';
	} 
	
	int flag=0;   //判断基底是否相同 
	for(int i=0;i<n-1;i++)
	{
		if(strcmp(tab[i].a,tab[i+1].a)) //不为0表示基底不同
		{
			flag=1;
			break;
		}
	}
	if(flag)
	{
		printf("-1\n");
	}
	else
	{
		int temp[n];   //找中位数
		for(int j=0;j<100;j++)   //遍历每个基底的实际连续字符数
		{
			for(int i=0;i<n;i++)
			{
				temp[i]=tab[i].count[j];
			}
			qsort(temp,n,sizeof(int),cmp);  
			tab[n].count[j]=temp[n/2];  //升序后找到中位数(中间两个数的其中一个)存在最后一组里
		}
		
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			for(int j=0;j<100;j++)
			{
				sum+=abs(tab[i].count[j]-tab[n].count[j]);  //与最后一组作差取绝对值
			}
		} 
		printf("%d\n",sum);
	}
	return 0;
}

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