1.概念
1）外测度定义：设集合为有界集，称
为的外测度。
2）可测度定义：设集合为有界集，为的外测度。如果外测度满足可加性：
则称为可测集。为的勒贝格测度，简称测度。
3）可测函数定义：设是可测集上的广义实函数（函数值可取），若，有
为可测集，则称为上的可测函数。
2.证明
例1.4.15：可测集上的连续函数都是可测函数。
证明：
要证可测集上的连续函数是可测函数，即证对，为可测集。
对，由的连续性，可知，的某一邻域，有
| (1) |
不妨令
| (2) |
下证。
①证：
由(1)式可知，
故得证。
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②要证，即证。
由(2)式，显然，有。
故得证。
由①②可知：
为一系列开集的并，仍为开集。由于中开集与闭集都是可测集，故为可测集。
由题可知为可测集。
故为可测集（有限个可测集的交为可测集）
故对，为可测集，为可测函数 #
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