ICLR2023《Crossformer: Transformer Utilizing Cross-Dimension Dependency for Multivariate Time Series》-Toy模板网

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ICLR2023《Crossformer: Transformer Utilizing Cross-Dimension Dependency for Multivariate Time Series》
论文链接：https://openreview.net/pdf?id=vSVLM2j9eie
代码：https://github.com/Thinklab-SJTU/Crossformer

1. Multivariate Time Series Forecasting

MTS，多变量时序数据预测。利用MTS的历史值可以预测其未来的趋势，例如心电图（ECG），脑电图（EEG）脑磁图(MEG)的诊断以及系统监测等等都是固有的多变量问题。该任务数据每个实例序列拥有多个维度，是一个d维向量和m个观测值(时间序列)的列表，如下所示数据（借鉴自综述论文：《The great multivariate time series classification bake off: a review and experimental evaluation of recent algorithmic advances》）
ICLR2023《Crossformer: Transformer Utilizing Cross-Dimension Dependency for Multivariate Time Series》

2. 动机

MTS的核心额外复杂性在于，区别性特征可能存在于维度之间的相互作用中，而不仅仅存在于单个序列中的自相关性中。标准的Transformer中核心self-attention可能仅仅建模了单个序列的自相关性，忽略了跨维度的依赖关系。

此外，如下图所示，当数据序列很长时，计算复杂性高，但是可以观察到，接近的数据点具有相似的注意权重！

基于此，作者提出一个分层encoder-decoder框架Crossformer.
ICLR2023《Crossformer: Transformer Utilizing Cross-Dimension Dependency for Multivariate Time Series》

3. Crossformer

目标：输入一段历史序列 $x_{1:T} \in \mathbb{R}^{T\times D}$ ，预测未来的一段序列 $x_{T+1:T+\tau} \in \mathbb{R}^{\tau \times D}$ .

3.1 Hierarchical Encoder-Decoder

作者提出一个新的层次Encoder-Decoder的架构，如下所示，由左边encoder（灰色）和右边decoder（浅橘色）组成。其主要包含Dimension-Segment-Wise (DSW) embedding，Two-Stage Attention (TSA)层和Linear Projection。

Dimension-Segment-Wise (DSW) embedding：为了将输入 $x_{1:T} \in \mathbb{R}^{T\times D}$ 进行分segment，从而减少计算复杂性。如果最后每个序列要分成 $L$ 个segment，每个序列 $d_{model}$ 的通道数，则最后的输入记为： $\in \mathbb{R}^{L \times D \times d_{model}}$ .
Two-Stage Attention (TSA)层：捕获cross-time和cross-dimension依赖关系。替待原来的self-attention在encoder和decoder中的位置。
Linear Projection：应用于每一个decoder层的输出，以产生该层的预测。对各层预测结果进行求和，得到最终预测结果 $x^{pred}_{T+1：T+\tau}$ .

下面主要讲解DSW和TSA如何实现的！

3.2 Dimension-Segment-Wise embedding (DSW)

输入 $x_{1:T} \in \mathbb{R}^{T\times D}$ ，表明输入包含 $T$ 个序列，每个序列有 $D$ 个维度。如下所示，如果我们分的每个segment的长度为 $L_{seg}$ ，则每个序列中可以划分出 $\frac{T}{L_{seg}}$ 个segment，每个序列有 $D$ 个维度，则整个输入共包含 $\frac{T}{L_{seg}} \times D$ 个segment，故 $x_{1:T}$ 可以记为： $x_{1:T}=\{x^{(s)}_{i,d}|1\le i \le \frac{T}{L_{seg}}, 1 \le d \le D \}$ 。在 $d$ 维度中的第 $i$ 个segment的size记为 $x^{(s)}_{i,d} \in \mathbb{R}^{1 \times L_{seg}}$ ，然后使用线性投影和位置嵌入将每个段嵌入到一个向量中：
ICLR2023《Crossformer: Transformer Utilizing Cross-Dimension Dependency for Multivariate Time Series》
其中 $h_{i,d} \in \mathbb{R}^{d_{model}}$ ， $\in \mathbb{R}^{d_{model} \times L_{seg}}$ 表示可学习的映射矩阵。 $E^{(pos)}_{i,d} \in \mathbb{R}^{d_{model}}$ 表示在 $(i, d)$ 位置的可学习位置嵌入。

最后，可以获得一个2D的向量数组 $H=\{ h_{i,d}|1 \le i \le \frac{T}{L_{seg}},1 \le d \le D \} \in \mathbb{R}^{\frac{T}{L_{seg}} \times D \times d_{model}}$ .
ICLR2023《Crossformer: Transformer Utilizing Cross-Dimension Dependency for Multivariate Time Series》

3.3 Two-Stage Attention (TSA)

由上可得输入现在为： $\in \mathbb{R}^{\frac{T}{L_{seg}} \times D \times d_{model}}$ ，为了方便，记 $L=\frac{T}{L_{seg}}$ ，则输入为 $\in \mathbb{R}^{L \times D \times d_{model}}$ 。TSA主要由cross-time stage和
cross-dimension stage组成，如下图所示。

ICLR2023《Crossformer: Transformer Utilizing Cross-Dimension Dependency for Multivariate Time Series》

Cross-Time Stage
对于每个维度，包含所有时间序列。因此，对于 $d$ 维度 $Z_{:,d} \in \mathbb{R}^{L \times d_{model}}$ 上，cross-time依赖关系可记为：

其中 $\le d \le D$ ，所有维度共享MSA（multi-head self-attention）.
Cross-Dimension Stage
对于每个时间点，包含所有维度。因此，对于第 $i$ 时间点 $Z^{time}_{i,:} \in \mathbb{R}^{D \times d_{model}}$
1）如果使用标准Transformer进行，如下图所示，可以很容易得到复杂性为 $\mathcal{O}(D^2)$ ！总共有 $L$ 个时间segment，因此总复杂性为 $\mathcal{O}(D^2L)$ .

2）作者引入router机制，每个时间点共享。如下图所示， $R_{i,:} \in \mathbb{R}^{c×d_{model}}$ ( $c$ 是常数)是作为路由器的可学习向量，作为第一个MSA的query.

$B_{i,:} \in \mathbb{R}^{c×d_{model}}$ ，作为第二个MSA的key和value.

由上可知，第一个MSA复杂性为 $\mathcal{O}(cDL)$ ，第二个MSA也是如此，因此，最终复杂性为 $\mathcal{O}(2cDL)$ ，其中 $2 c$ 为常量，记复杂性变为 $\mathcal{O}(DL)$ !!

4 实验

SOTA方法对比

更多对比方法：
消融实验
参数分析
复杂性分析
可视化
运行速度对比

5. 结论

提出了Crossformer，一种基于transformer的模型，利用跨维度依赖进行多元时间序列(MTS)预测。
DSW (dimension - segment - wise)嵌入：将输入数据嵌入到二维矢量数组中，以保留时间和维度信息。
为了捕获嵌入式阵列的跨时间和跨维度依赖关系，设计两阶段注意(TSA)层。
利用DSW嵌入和TSA层，设计了一种分层编码器(HED)来利用不同尺度的信息。

在6个数据集上的实验结果展示了该方法优于之前的先进技术。

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