证明贪心算法的正确性（Chatgpt辅助完成）-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了证明贪心算法的正确性（Chatgpt辅助完成）。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

一、最大不相交区间数量问题

问题描述：给定n个区间，选择尽可能多的区间，使得这些区间两两不相交。贪心算法的思路：按照右端点从小到大的顺序，依次选择右端点最小的区间，并且与前面选择的区间不重叠的区间。

证明：文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-436641.html

贪心选择性质成立假设选择的区间为I1、I2、I3……Im，按照右端点从小到大的顺序依次选择，其中Im是右端点最小的区间。对于任意一个区间Ix (1≤x≤m-1)，如果Ix与Im相交，那么Ix的右端点一定大于Im的右端点，否则Ix就会被选择而不是Im。因此，我们可以将Ix替换成Im，得到一个不劣解。因此，贪心选择性质成立。
最优子结构性质成立假设S是最优解，其中选择的区间为I1、I2、I3……Im。假设其中一个区间Ij（1≤j≤m）与后面的某个区间Ik（j<k≤m）相交，那么Ij的右端点一定大于Ik的右端点，否则Ik就会被选择而不是Ij。因此，我们可以将Ij替换成Ik，得到一个不劣解，证明最优子结构性质成立。因此，按照右端点从小到大的顺序依次选择右端点最小的区间，并且与前面选择的区间不重叠的区间的贪心算法得到的解是最优解。

二、背包问题

问题描述：有一个容量为C的背包和n个物品，第i个物品的重量为wi，价值为vi，选择一些物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大，求最大总价值。贪心算法的思路：按照单位重量价值从大到小的顺序，依次选择单位重量价值最大的物品，直到背包装满或者没有物品可选为止。

证明：

贪心选择性质成立假设选择的物品为I1、I2、I3……Im，按照单位重量价值从大到小的顺序依次选择，其中Im是单位重量价值最大的物品。对于任意一个物品Ix (1≤x≤m-1)，如果Ix的单位重量价值大于Im，那么Ix的单位重量价值一定大于Im，否则Ix就会被选择而不是Im。因此，我们可以将Im替换成Ix，得到一个不劣解。因此，贪心选择性质成立。
最优子结构性质成立假设S是最优解，其中选择的物品为I1、I2、I3……Im。假设其中一个物品Ij（1≤j≤m）被替换成了Ii（i>j），那么替换后的总价值为： V' = V + vi*(C - wj) / wi - vj 其中V是替换前的总价值，wj和vj分别是被替换的物品的重量和价值。因为单位重量价值从大到小排序，所以vi/wi > vj/wj，即viwj > vjwi，因此上式可以化简为： V' = V + vi - vj*(wi/wj) 由于vi和vj都是正数，wi/wj也是正数，因此V'<V，即替换后得到的解比原来的解更劣。因此，最优子结构性质成立。因此，按照单位重量价值从大到小的顺序依次选择单位重量价值最大的物品的贪心算法得到的解是最优解。

三、最少货币数量支付问题

要用最少货币数支付指定金额，凭直觉我们会得出优先用最大可用面值支付的贪心选择策略。假设A国货币体制为1元、3元、9元、27元，B国货币体制为1元、4元、5元、7元，对这两种货币体制，分别证明最大面值优先支付的策略是否成立。

对于A国货币体制，最大面值优先支付的策略成立。证明：

贪心选择性质成立假设选择的货币为I1、I2、I3……Im，按照面额从大到小的顺序依次选择，其中Im是面额最大的货币。对于任意一个货币Ix (1≤x≤m-1)，如果Ix的面额大于Im，那么Ix的面额一定大于Im，否则Ix就会被选择而不是Im。因此，我们可以将Im替换成Ix，得到一个不劣解。因此，贪心选择性质成立。
最优子结构性质成立假设S是最优解，其中选择的货币为I1、I2、I3……Im。假设其中一个货币Ij（1≤j≤m）被替换成了Ii（i>j），那么替换后的货币数量为： m' = m - xj + xi 其中xj和xi分别是被替换的货币的数量。因为面额从大到小排序，所以xi > xj，因此m' < m，即替换后得到的解比原来的解更劣。因此，最优子结构性质成立。因此，对于A国货币体制，最大面值优先支付的策略成立。

对于B国货币体制，最大面值优先支付的策略不成立。

举例说明：假设需要支付12元，按照最大面值优先支付的策略，先支付7元，剩余5元，再支付5元，总共需要使用2个货币。但是，更优的策略是先支付4元，剩余8元，再支付4元和4元，总共需要使用3个货币。因此，对于B国货币体制，最大面值优先支付的策略不成立。

四、最小平均等待时间问题

问题描述：有n个顾客需要在同一台机器上执行任务，每个顾客需要的时间不同，已知每个顾客需要的时间和到达时间，假设每个顾客到达时立即执行任务，问如何安排任务顺序，才能使平均等待时间最小。贪心算法的思路：按照每个顾客需要的时间从小到大排序，依次执行任务，计算每个顾客的等待时间，求平均等待时间。

证明：

贪心选择性质成立假设选择的任务序列为I1、I2、I3……Im，按照每个顾客需要的时间从小到大排序，依次执行任务。对于任意一个任务Ix (1≤x≤m-1)，如果Ix的需要时间小于Im，那么Ix的需要时间一定小于Im，否则Ix就会被选择而不是Im。因此，我们可以将Im替换成Ix，得到一个不劣解。因此，贪心选择性质成立。
最优子结构性质成立假设S是最优解，其中选择的任务序列为I1、I2、I3……Im。假设其中一个任务Ij（1≤j≤m-1）被替换成了Ii（i>j），那么替换后的平均等待时间为： T' = (T_j + t_i + t_j) / n + (T_i - t_i) / (n - 1) 其中，T_i是在Ii前面的任务的等待时间之和，t_i是Ii需要的时间，T_j是在Ij前面的任务的等待时间之和，t_j是Ij需要的时间。如果将Ij替换成Ii，那么Ij将会在Ii后面执行，所以T_i和T_j都会增加t_j，因此： T' - T = (t_j - t_i) / n + (T_j - T_i - t_j) / (n - 1) 因为t_i < t_j，所以T' - T < 0，即替换后得到的解比原来的解更优。因此，最优子结构性质成立。因此，按照每个顾客需要的时间从小到大排序，依次执行任务的贪心算法得到的解是最优解。

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