【矩阵论】4. 矩阵运算——广义逆—

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矩阵论的所有文章，主要内容参考北航赵迪老师的课件

[注]由于矩阵论对计算机比较重要，所以选修了这门课，但不是专业搞数学的，所以存在很多口语化描述，而且对很多东西理解不是很正确与透彻，欢迎大家指正。我可能间歇性忙，但有空一定会回复修改的。

矩阵论
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1.准备知识——复数域上的内积域正交阵
1.准备知识——Hermite阵，二次型，矩阵合同，正定阵，幂0阵，幂等阵，矩阵的秩
2. 矩阵分解——SVD准备知识——奇异值
2. 矩阵分解——SVD
2. 矩阵分解——QR分解
2. 矩阵分解——正定阵分解
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2. 矩阵分解——正规谱分解
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4. 矩阵运算——广义逆——减号逆
5. 线性空间与线性变换——线性空间
5. 线性空间与线性变换——生成子空间
5. 线性空间与线性变换——线性映射与自然基分解,线性变换
6. 正规方程与矩阵方程求解
7. 范数理论——基本概念——向量范数与矩阵范数
7.范数理论——基本概念——矩阵范数生成向量范数&谱范不等式
7. 矩阵理论——算子范数
7.范数理论——范数估计——许尔估计&谱估计
7. 范数理论——非负/正矩阵
8. 常用矩阵总结——秩1矩阵，优阵(单位正交阵)，Hermite阵
8. 常用矩阵总结——镜面阵，正定阵
8. 常用矩阵总结——单阵，正规阵，幂0阵，幂等阵，循环阵

【矩阵论】4. 矩阵运算——广义逆——减号逆

4.5 减号逆

若 $A=A_{m\times n}$ 与 $X=X_{n\times m}$ ，有 $A X A = A$ ，则称 $X=X_{n\times m}$ 为A的减号逆(一号逆)，记为 $X=A^{-}=A^{(1)}$

全体 $A^{-}$ 的集合记为 $A^{\{1\}}=\{X\mid AXA=A\}$

$A^{-}\in A^{\{1\}}$

4.5.1 性质

a. 自反性

$AA^{-}A=A$

b. $A^-A$ 为幂等阵

$A^{-}A)^2=A^{-}A$ ， $AA^{-})^2=AA^{-}$
$证明：\because (A^-A)^2=A^-AA^-A=A^-A\Rightarrow A^-A为幂等阵$

秩迹公式

$r(A)=r(A^-A)=r(AA^-)=tr(AA^-)=tr(A^-A)$
$\begin{aligned} 证明： &r(A^-A)\le r(A),且A=AA^-A\Rightarrow r(A)=r(AA^-A)\le r(A^-A)\le r(A)\\ &故r(A)=r(A^-A)，同理，r(AA^-)=r(A)\\ &A^2=A\overset{x^2=x}{\Longrightarrow} \lambda=1或0,且A为单阵 \Rightarrow A\sim\Lambda=\left(\begin{matrix}\left(\begin{matrix}1&&&\\&1&&\\&&\ddots&\\&&&1\end{matrix}\right)&&\\&0&\\&&\ddots\end{matrix}\right)\\ &\therefore tr(A)=r(A)=r(A^-A)=r(AA^-)=tr(AA^-)=tr(A^-A) \end{aligned}$

$I-A^-A)^2=I-A^-A$

$r(I-A^-A)=n-r(A^-A)=n-r(A)$
$r(I-AA^-)=r(A)$

c. $A^{-}$ 不唯一

如 $A=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$ ，可取 X=(1 0) 或 Y=(1 1) 作为A的减号逆
$A^{-}$ 唯一的阵：方阵 $A_{n\times n}$ 可逆，则必有唯一 $A^{-1}=A^{+}=A^-$

d. 满秩乘积为单位阵

若 $A=A_{m\times n}$ 为列满秩（高阵），则 $A^-A=I_n$ ；若 $A$ 为行满秩（低阵），则 $AA^-=I_m$

【矩阵论】4. 矩阵运算——广义逆——减号逆

4.5.2 计算

a. 求解 $A X A = A$

求解减号逆 $A{-}$ 即求解 $A X A = A$ 的全体通解

【矩阵论】4. 矩阵运算——广义逆——减号逆在这里插入图片描述

$\begin{aligned} &由矩阵方程AXB=D的特解X_0=A^+=\left(1,0,0\right),故通解为A^-=X=X_0+Y-A^+AYAA^+\\ &=\left(1，0，0\right)+\left(\begin{matrix}a，b，c\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}a，0，0\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1，b，c\end{matrix}\right) \end{aligned}$

也可见 $A^-$ 不唯一

对于高阶阵 $A^-=A^++(Y-A^+AYAA^+)$ 的计算比较复杂

b. 标准对角形

若 $A=\left(\begin{matrix}I_r&0\\0&0\end{matrix}\right)_{m\times n}$ ，则全体 $A^-=\left(\begin{matrix}I_r&B\\C&D\end{matrix}\right)_{n\times m}$ ，BCD为任一小块

【矩阵论】4. 矩阵运算——广义逆——减号逆

若 $PAQ=\left(\begin{matrix}I_r&0\\0&0\end{matrix}\right)_{m\times n}$ ，全体 $A^{-}=Q\left(\begin{matrix}I_r&B\\C&D\end{matrix}\right)_{n\times m}P$ ，BCD为任一小块

c. 初等行，列变换（一般方法）

设 $A=A_{m\times n}$ ，令 $\left(\begin{array}{c:c}A&I_m\\\hdashline I_n&0\end{array}\right)\xrightarrow[列变换]{行变换}\left(\begin{array}{c:c}\left(\begin{matrix}I_r&0\\0&0\end{matrix}\right)_{m\times n}&P\\\hdashline Q&0\end{array}\right)$ ，则有 $A^-=Q\left(\begin{matrix}I_r&B\\C&D\end{matrix}\right)_{n\times m}P$