PT_中心极限定理CLT:棣莫佛-拉普拉斯定理de Moivre - Laplace CLT+林德伯格-列维(Lindeberg-Levy)定理

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了PT_中心极限定理CLT:棣莫佛-拉普拉斯定理de Moivre - Laplace CLT+林德伯格-列维(Lindeberg-Levy)定理。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

中心极限定理CLT

  • 中心极限定理(英语:central limit theorem,简作 CLT)是概率论中的一组定理。
    • 中心极限定理说明,在适当的条件下,大量相互独立随机变量的均值经适当标准化后依分布收敛于标准正态分布。
    • 这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础,指出了大量随机变量之和近似服从正态分布条件
    • 提供了计算独立随机变量之和的近似概率
      • 有助于解释为什么很多随机现象可以用正态分布来描述

棣莫佛-拉普拉斯定理de Moivre - Laplace CLT

  • 棣莫佛-拉普拉斯(de Moivre - Laplace)定理是中央极限定理的最初版本,

    • 讨论了服从二项分布的随机变量序列。它指出,参数为n, p的二项分布以np为均值、np(1-p) 为方差的正态分布为极限。
  • 设 Y n 是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数 设Y_n是n次独立试验中事件A发生的次数 Ynn次独立试验中事件A发生的次数

    • 在每次试验中,事件A发生的概率是 p , p ∈ ( 0 , 1 ) p,p\in(0,1) p,p(0,1)

      • 则 : Y n ∼ B ( n , p ) 则:Y_n\sim{B(n,p)} :YnB(n,p)

      • E ( Y n ) = n p , D ( X n ) = n p ( 1 − q ) E(Y_n)=np,D(X_n)=np(1-q) E(Yn)=np,D(Xn)=np(1q)

      • lim ⁡ n → ∞ P ( Y n − n p n p ( 1 − p ) ⩽ x ) = Φ ( X ) \lim\limits_{n\to{\infin}} P(\frac{Y_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leqslant{x})=\Phi(X) nlimP(np(1p) Ynnpx)=Φ(X)

解释

  • 当 试验次数 n 很大 ‾ 的时候 , Y n 标准化后的随机变量 当\underline{试验次数n很大}的时候,Y_n标准化后的随机变量 试验次数n很大的时候,Yn标准化后的随机变量

    • Y n ∗ = Y n − E ( Y n ) D ( Y n ) = Y n − n p n p ( 1 − p ) Y_n^*=\frac{Y_n-E(Y_n)}{\sqrt{D(Y_n)}}=\frac{Y_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} Yn=D(Yn) YnE(Yn)=np(1p) Ynnp

    • Y ∗ 近似服从正态分布 : Y ∗ ∼ N ( n p , n p ( 1 − p ) ) Y^*近似服从正态分布:Y^*\sim{N(np,np(1-p))} Y近似服从正态分布:YN(np,np(1p))

    • 有关二项分布的概率计算问题可以转换为正态分布的计算问题

林德伯格-列维(Lindeberg-Levy)定理

  • 林德伯格-列维(Lindeberg-Levy)定理,是棣莫佛-拉普拉斯定理的扩展

    • 讨论独立同分布随机变量序列的中央极限定理。
    • 它表明,独立同分布(i.i.d., 即 independent and indentically distributed)且数学期望和方差有限的随机变量序列的标准化和以标准正态分布为极限
  • 设 {   X n ∣ n = 1 , 2 , ⋯   } 是独立同分布的随机变量序列 设\set{X_n|n=1,2,\cdots}是独立同分布的随机变量序列 {Xnn=1,2,}是独立同分布的随机变量序列

  • E ( X n ) = μ , D ( X n ) = σ 2 < + ∞ ; E(X_n)=\mu,D(X_n)=\sigma^2<+\infin; E(Xn)=μ,D(Xn)=σ2<+;

  • X ‾ = 1 n ∑ i = 1 n X i \overline{X}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i X=n1i=1nXi

    • S = S ( X i ) = ∑ i = 1 n X i = n X ‾ S=S(X_i)=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i=n\overline{X} S=S(Xi)=i=1nXi=nX
    • E ( S ) = n μ E(S)=n\mu E(S)=nμ
    • D ( S ) = σ n D(S)=\sigma\sqrt{n} D(S)=σn
      • 在前面我们已经推导过 D ( X ‾ ) = 1 n σ 2 D(\overline{X})=\frac{1}{n}\sigma^2 D(X)=n1σ2,
        • D ( S ) = D ( n X ‾ ) = n 2 D ( X ‾ ) = n 2 1 n σ 2 = n σ 2 D(S)=D(n\overline{X})=n^2D(\overline{X})=n^2\frac{1}{n}\sigma^2=n\sigma^2 D(S)=D(nX)=n2D(X)=n2n1σ2=nσ2
        • D ( S ) = n σ \sqrt{D(S)}=\sqrt{n}\sigma D(S) =n σ
  • 记 : ζ n 就是 S = ∑ i = 1 n X i 的标准化随机变量 ζ n = S − E ( S ) D ( S ) = n X ‾ − n μ n σ = X ‾ − μ σ / n = n ( X ‾ − μ ) n σ \\记:\zeta_n就是S=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i的标准化随机变量 \\ \zeta_n=\frac{S-E(S)}{\sqrt{D(S)}} =\frac{n\overline{X}-n\mu }{\sqrt{n}\sigma} ={\frac {{\overline{X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}} =\frac{n(\overline{X}-\mu) }{\sqrt{n}\sigma} \\ :ζn就是S=i=1nXi的标准化随机变量ζn=D(S) SE(S)=n σnXnμ=σ/n Xμ=n σn(Xμ)

  • X ∼ N ( 0 , 1 ) 标准正态分布函数 Φ ( x ) X\sim{N(0,1)}标准正态分布函数\Phi(x) XN(0,1)标准正态分布函数Φ(x)

    • Φ ( X ) = 1 2 π ∫ − ∞ x e − 1 2 t 2 d t \Phi(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle{\int_{-\infin}^{x}}e^{-\frac{1}{2}t^2}\mathrm{d}t Φ(X)=2π 1xe21t2dt
  • ∀ x ∈ R : lim ⁡ n → ∞ P ( ∑ i = 1 n X i − n μ n σ ⩽ x ) = Φ ( x ) 简写 : lim ⁡ n → ∞ P ( n X ‾ − n μ n σ ⩽ x ) = Φ ( x ) lim ⁡ n → ∞ P ( ζ n ⩽ x ) = Φ ( x ) \forall x\in{R}: \\ \lim\limits_{n\to{\infin}} P\left( \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}X_i-n\mu }{\sqrt{n}\sigma} \leqslant{x} \right)=\Phi(x) \\ 简写: \\ \lim\limits_{n\to{\infin}} P\left( \frac{n\overline{X}-n\mu }{\sqrt{n}\sigma} \leqslant{x} \right)=\Phi(x) \\ \lim\limits_{n\to{\infin}} P\left( \zeta_n \leqslant{x} \right)=\Phi(x) xR:nlimP n σi=1nXinμx =Φ(x)简写:nlimP(n σnXnμx)=Φ(x)nlimP(ζnx)=Φ(x)

解释

  • 当n很大的时候:

    • ζ n = ( ∑ i = 1 n X i ) − n μ n σ 近似有 : ζ n ∼ N ( 0 , 1 ) 或者说 , ∑ i = 1 n X i ∼ N ( n μ , n σ 2 ) \zeta_n=\frac{(\sum\limits_{i=1}^{n}X_i)-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}近似有: \\ \zeta_n\sim{N(0,1)} \\或者说,\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\sim{N(n\mu,n\sigma^2)} ζn=n σ(i=1nXi)nμ近似有:ζnN(0,1)或者说,i=1nXiN(nμ,nσ2)

    • X n 的分布在一定程度上是任意的 X_n的分布在一定程度上是任意的 Xn的分布在一定程度上是任意的

      • 当 X n 当X_n Xn的分布不容易求得时,
        • 只要n足够大,就可以通过标准正态分布函数 Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x)来求解与 ∑ i = 0 n X n \sum\limits_{i=0}^{n}X_n i=0nXn相关事件的概率

参考证明

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-MeU5aaGl-1667206741588)(D:\repos\blogs\neep\math\PT_概率论\assets\image-20221031142634878.png)]

推导DeMoivre-Laplace CLT

  • {   X n ∣ n = 1 , 2 , ⋯   } \set{X_n|n=1,2,\cdots} {Xnn=1,2,}是独立同分布的随机变量序列,

    • X n ∼ B ( 1 , p ) X_n\sim{B(1,p)} XnB(1,p)
    • E ( X n ) = μ = p ; D ( X n ) = σ 2 = p ( 1 − p ) E(X_n)=\mu=p;D(X_n)=\sigma^2=p(1-p) E(Xn)=μ=p;D(Xn)=σ2=p(1p)
      • σ = p ( 1 − p ) \sigma=\sqrt{p(1-p)} σ=p(1p)
    • 结合上述语境: Y n = ∑ i = 1 n X i Y_n=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i Yn=i=1nXi
      • Y n ∼ B ( n , p ) Y_n\sim{B(n,p)} YnB(n,p)
  • 由Lindeberg-Levy CLT得到DeMoivre-Laplace CLT文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-438046.html

    • lim ⁡ n → ∞ P ( ∑ i = 1 n X i − n μ n σ ⩽ x ) = Φ ( x ) lim ⁡ n → ∞ P ( Y n − n p n p ( 1 − p ) ⩽ x ) = Φ ( x ) \lim\limits_{n\to{\infin}} P\left( \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}X_i-n\mu }{\sqrt{n}\sigma} \leqslant{x} \right)=\Phi(x) \\\lim\limits_{n\to{\infin}} P\left( \frac{Y_n-np }{\sqrt{np(1-p)}} \leqslant{x} \right)=\Phi(x) nlimP n σi=1nXinμx =Φ(x)nlimP(np(1p) Ynnpx)=Φ(x)

到了这里,关于PT_中心极限定理CLT:棣莫佛-拉普拉斯定理de Moivre - Laplace CLT+林德伯格-列维(Lindeberg-Levy)定理的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处: 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请点击违法举报进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

领支付宝红包 赞助服务器费用

相关文章

  • 通俗讲解 依概率收敛,大数定理和中心极限定理

    首先说一下结论, 依概率收敛 是一种基础证明工具,可以类比到高数中的 极限定义 ,将一种直觉上的 “逼近某个数” 用数学公式来定义,这有利于严谨的证明。与极限定义不同,之所以叫 依概率收敛 ,我的理解是因为随机变量是一种有概率的值,它会在概率的意义上逼

    2024年02月15日
    浏览(44)
  • 【概率论】中心极限定理(一)

    假设有同一批次的产品,每件产品的重量是随机的,其平均重量是 50 公斤,标准差是 5 公斤。现用最大载重为 5 吨的汽车来运载该产品,试用中心极限定理说明,若要以 0.99 的概率保证不超载,每辆汽车最多可以装载( C )件产品。 A. 90 B. 95 C. 98 D. 100 解析: ① E ( X i ) = 5

    2024年02月08日
    浏览(42)
  • 第五章——大数定律和中心极限定理

    前言:极限定理是概率论的基本理论,在理论研究和应用中起着重要的作用,其中最重要的是称为大数定律和中心极限定理的一些定理。 大数定律是叙述随机变量序列的前一些项的算术平均值在某些条件下收敛到这些项的均值的算术平均值。也就是从总体中抽出一部分样本,

    2024年02月11日
    浏览(51)
  • 基于FPGA的高斯白噪声的生成(中心极限定理)

    大家可以在网上查询中心极限定理的定理和解释。中心极限定理意思就是说在一组服从均匀分布的数据中,随机抽取选取m个数,然后求这个m个数的平均值,这个平均数作为x1。继续随机抽取m个数,求这m个数的平均值,作为x2,就这样一直抽取n组数,也就是获得n个的数,每一

    2024年02月10日
    浏览(50)
  • 拉普拉斯锐化[原理及Python实现](含拉氏标定、拉普拉斯标定)

    [原理及Python实现](含拉氏标定、拉普拉斯标定) 原创文章;转载请注明出处:©️ Sylvan Ding 锐化处理的主要目的是突出灰度的过度部分。图像锐化的用途多种多样,应用范围从电子印刷和医学成像到工业检测和军事系统的制导等。利用图像微分可以增强边缘和其他突变(如

    2023年04月10日
    浏览(52)
  • 【信号与系统】(二十一)拉普拉斯变换与复频域分析——拉普拉斯变换及其性质

    傅里叶变换: j w jw j w 拉普拉斯变换: s = σ + j w s=sigma+jw s = σ + j w 有些函数不满足绝对可积条件 ,求解傅里叶变换困难。为此,可用一衰减因子 e − σ t e^{-sigma t} e − σ t ( σ sigma σ 为实常数)乘信号 f ( t ) f(t) f ( t ) ,适当选取 σ sigma σ 的值,使乘积信号 f ( t ) e −

    2024年02月09日
    浏览(60)
  • 拉普拉斯算子

    在介绍拉普拉斯算子概念之前我们先介绍,哈密尔顿算子( ∇ nabla ∇ ),梯度,散度等概念 所谓哈密尔顿算子即为某一物理量在笛卡尔坐标系下的偏导数的矢量和,其运算符号为: ∇ nabla ∇ ,定义如下: ∇ = δ δ x i + δ δ y j + δ δ z k nabla={frac{delta}{delta x}}pmb{i}+{f

    2024年02月09日
    浏览(49)
  • 拉普拉斯变换

    1.公式:设f(t)在t≥0时有定义, 其中s=β+jw。 注:L(1)=   L(sgnt)=   L()= 2.性质         性质1:          性质2:          性质3:         性质4:L()= 推导性质2:使用欧拉公式进行推导 同理,cosat= ,使用分部积分法,经过两次分部积分后会出现原来的积分,通过合并

    2024年02月05日
    浏览(46)
  • 【电路分析】拉普拉斯变换及其应用

    零状态响应 是指电路的外加激励源为零的情况下,由动态元件的初始储能引起的响应。 零输入响应 是指电路的初始状态为零(即换路前电容电压为零,电感电流为零),由外加激励源产生的响应。 该函数在 t0时幅值为1,在 t0 时幅值为-0,在 t=0时函数没有定义但为有限值

    2024年02月03日
    浏览(46)
  • visual Studio MFC 平台实现拉普拉斯和拉普拉斯与直方图均衡化与中值滤波相结合实现比较

    本文使用visual Studio MFC 平台实现图像增强中的拉普拉斯变换,同时拉普拉斯一般不会单独使用,与其他平滑操作相结合,本文使用了拉普拉斯与直方图均衡化以及与中值滤波相结合,也对三种方式进行了对比 关于基础工程的创建可以参考 01-Visual Studio 使用MFC 单文档工程绘制

    2024年02月04日
    浏览(51)

觉得文章有用就打赏一下文章作者

支付宝扫一扫打赏

博客赞助

微信扫一扫打赏

请作者喝杯咖啡吧~博客赞助

支付宝扫一扫领取红包,优惠每天领

二维码1

领取红包

二维码2

领红包