(一) X与Z是相关还是独立？
1.二维正态分布：X与Y独立 ⇦⇨ X与Y不相关，ρXY=0
2.判断X与Z关系：求Cov(X,Z)
①Cov(X,Z)=0：不相关
②Cov(X,Z)≠0：相关
例题1：23李林四(三)9.
分析：
①原理：二维正态分布，不相关就是独立，独立就是不相关。
②分析选项：
A.是X与Z不独立，即X与Z相关。
B.是X与Z不相关
C.是Y与Z独立，即Y与Z不相关。D也是Y与Z不相关，显然C与D是一个意思。不选。只判断A、B
③判断X与Z是否独立/不相关：求Cov(X,Z)，得出为0。X与Z独立，不相关。选B
答案：B
(二) 相关性与独立性的关系
1.相关性 (线性关系)
相关，即线性相关程度。
不相关，即线性无关。完全没有线性函数关系。
相关系数 ρ X Y ρ_{XY} ρXY
线性相关系数ρXY性质：
①|ρXY|≤1.
②P{Y=aX+B}=1
ρXY为1、-1时表明X与Y存在线性相关关系。
当|ρXY|较大时，说明X与Y的线性相关程度较好。
当|ρXY|较小时，说明X与Y的线性相关程度较差。
ρXY=0时，称X与Y不相关
ρXY= 0时，即Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)·E(Y)=0，则X与Y不相关，不存在线性关系。(但可能存在其他函数关系)
2.独立性 (无任何关系)
1.若X与Y相互独立，则X与Y不存在任何函数关系，包括线性关系。所以当X与Y独立时，ρXY=0，即X与Y不相关，不存在线性函数关系。
但X与Y不相关，不存在线性函数关系时，却可能存在其他的(类似圆的X2+Y2=1)函数关系。
2.独立则P{ }可拆为两部分：
P{X≤a}·P{Y≤b} = P{X≤a,Y≤b}
3.相关性与独立性的关系
相关：X与Y具有线性函数关系
不相关：X与Y没有线性函数关系
独立：X与Y不存在任何函数关系 【二维正态分布，不相关就是独立】
| X与Y有无函数关系 | 无任何函数关系：独立 |
| 有函数关系：不独立 | |
| X与Y的函数关系是否为线性关系 | 线性函数函数：不独立且相关 |
| 非线性的函数关系：不独立且不相关 |
例题1：23李林六套卷(四)9.
分析：
∵Y=|X|，有非线性的函数关系，即为不独立且不相关
答案：C
例题2：19年22(2)(3)
经典Z=XY
经典1，-1两点分布
分析： p = 1 2 p=\frac{1}{2} p=21时X与Z不相关。但不相关只是说明没有线性关系，无法直接说明第三问的独立。
答案：
(3)
①
p
≠
1
2
p≠\frac{1}{2}
p=21时，X与Z相关，即
p
≠
1
2
p≠\frac{1}{2}
p=21时X与Z不独立。
②现只需考虑
p
=
1
2
p=\frac{1}{2}
p=21时的情况。检验P{X<1,Z<1}=P{X<1}·P{Z<1}
发现不相等，则
p
=
1
2
p=\frac{1}{2}
p=21时X与Z也不独立
③综上①②，任取0<p<1，X与Z均不独立。
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(三) 独立可加性 (XY独立且同类型分布)
若X与Y独立，且满足以下5种同类型分布，则具有独立可加性.文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-438863.html
| 分布 | X,Y独立 | ⇨ 独立可加性 |
|---|---|---|
| ①二项分布 | X~B(m,p)， Y~B(n,p) | X+Y~ B(m+n,p) |
| ②泊松分布 | X~P(λ₁)， Y~P(λ₂) | X+Y~ P(λ₁+λ₂) |
| ③正态分布 | X~N(μ₁,σ₁²)， Y~N(μ₂,σ₂²) | X ± Y ∼ N ( μ 1 ± μ 2 ， σ 1 2 + σ 2 2 ) X±Y\sim N(μ₁±μ₂，σ²₁+σ₂²) X±Y∼N(μ1±μ2，σ12+σ22) |
| ④卡方分布 | X~χ²(m)， Y~χ²(n) | X+Y~ χ²(m+n) |
| ⑤指数分布 | X~E(λ₁)， X~E(λ₂) | m i n { X , Y } min\{X,Y\} min{X,Y} ∼ E ( λ 1 + λ 2 ) \sim E(λ₁+λ₂) ∼E(λ1+λ2) |
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