百囚犯问题（100 prisoners problem）
问题描述
Philippe Flajolet和Robert Sedgewick在2009年提出了“百囚犯问题（100 prisoners problem）”
一个房间里有100个抽屉，监狱长随意地把1到100这100个号码放入1号到100号抽屉中，每个抽屉一张。囚犯们逐个进入房间，每人可以任意打开50个抽屉，之后关上。如果每名囚犯都在这50个抽屉中发现了他的号码，那么所有的犯人都会被赦免；如果有人没有找到他的号码，那么所有的囚犯都会被处死。在第一个囚犯进入房间之前，囚犯们允许一起讨论开抽屉的“策略”，但一旦第一个囚犯进入房间，他们之间就被禁止交流。
如果随机打开，那么成功的概率为
(
1
2
)
100
=
8
∗
1
0
−
31
(\frac{1}{2})^{100} = 8 * 10^{-31}
(21)100=8∗10−31
策略选择
每名囚犯进入房间后都——
- 先打开自己的号码的抽屉。
- 如果这个抽屉里有他的号码，他就成功了。
- 否则，抽屉里会有另一个号码，然后他打开这个号码的抽屉。
- 不断重复第2步和第3步，直到他找到自己的号码或已经打开了50个抽屉（那就全体失败了）。
这个策略之所以可行：是因为 ( x , y ) (x,y) (x,y)形成了一个环(用 x x x表示箱子的号码, y y y表示箱子里面装的号码)就是从囚犯自己号码对应的箱子找，总能找到一个箱子有自己的号码；
下证 : ( x , y ) 形成了一个环 反证： 存在某一个路径不成环，设该路径为 ( x 1 , y 1 ) → ( x 2 , y 2 ) → ⋯ → ( x n , y n ) 根据策略的特点有： y k − 1 = x k 该路径不成环： y n ≠ x 1 那么 ( 证明在下面给出 ) ： y n = x n − w , ( n − w ) ∈ ( 1 , n ) 又 ∵ y n − w − 1 = x n − w 则表明有两个箱子装着同一个号码，显然不合实际，故 ( x , y ) 形成了一个环 ( 从编号 x 的箱子找，总能在一个箱子中找到编号为 x 的号码 ) 下证 : y n = x n − w , ( n − w ) ∈ ( 1 , n ) 若 y n 不等于路径中的某一个 x ，那么一定能将这条路径延长， y n 就不是终点 y n ≠ x 1 且 y n ≠ x n ∴ y n = x n − w , ( n − w ) ∈ ( 1 , n ) \begin{aligned} 下证:& (x,y)形成了一个环 \\ 反证：& 存在某一个路径不成环，设该路径为 (x_1,y_1) \to (x_2,y_2) \to \dots \to (x_n,y_n) \\ &根据策略的特点有： y_{k-1} = x_k \\ &该路径不成环： y_n \neq x_1 \\ &那么(证明在下面给出)： y_n = x_{n-w} ,(n-w) \in (1,n) \\ &又\because y_{n-w-1} = x_{n-w}\\ &则表明有两个箱子装着同一个号码，显然不合实际，故(x,y)形成了一个环(从编号x的箱子找，总能在一个箱子中找到编号为x的号码)\\ 下证:& y_n = x_{n-w} ,(n-w) \in (1,n)\\ &若y_n不等于路径中的某一个x，那么一定能将这条路径延长，y_n就不是终点 \\ &y_n \neq x_1 且y_n \neq x_n \\ &\therefore y_n = x_{n-w} ,(n-w) \in (1,n) \\ \end{aligned} 下证:反证：下证:(x,y)形成了一个环存在某一个路径不成环，设该路径为(x1,y1)→(x2,y2)→⋯→(xn,yn)根据策略的特点有：yk−1=xk该路径不成环：yn=x1那么(证明在下面给出)：yn=xn−w,(n−w)∈(1,n)又∵yn−w−1=xn−w则表明有两个箱子装着同一个号码，显然不合实际，故(x,y)形成了一个环(从编号x的箱子找，总能在一个箱子中找到编号为x的号码)yn=xn−w,(n−w)∈(1,n)若yn不等于路径中的某一个x，那么一定能将这条路径延长，yn就不是终点yn=x1且yn=xn∴yn=xn−w,(n−w)∈(1,n)
做一个简单的示意图
那么很显然，这个环的最大长度决定了囚犯能否获救，如果所有抽屉中的号码恰好构成了长度为100的环，那么显然囚犯会失败；如果有一条长度为49的环、一条长为20、一条为31的环，那么囚犯显然能获救；所以问题的临界情况就在环的长度等于50；
- 所有的摆放情况(100个不同箱子，塞100个不同的东西,相当于全排列)
A 100 100 = 100 ! A_{100}^{100} = 100! A100100=100! - 最长的环为
K
(
K
≥
50
)
K(K\geq50)
K(K≥50)
选出 K 个，在 K 个箱子里面形成一个环，剩下的 100 − K 在 100 − K 个箱子里全排 C 100 K ( K − 1 ) ! ( 100 − K ) ! = 100 ! K P = C 100 K ( K − 1 ) ! ( 100 − K ) ! 100 ! = 1 K 选出K个，在K个箱子里面形成一个环，剩下的100-K在100-K个箱子里全排\\ C_{100}^K (K-1)! (100-K)! = \frac{100!}{K}\\ P = \frac{C_{100}^K (K-1)! (100-K)!}{100!} = \frac{1}{K} 选出K个，在K个箱子里面形成一个环，剩下的100−K在100−K个箱子里全排C100K(K−1)!(100−K)!=K100!P=100!C100K(K−1)!(100−K)!=K1
那么所有
K
≥
50
K\geq 50
K≥50的情况都是囚犯没救的情况，有救的情况为
P
=
1
−
1
100
−
1
99
−
⋯
−
1
51
=
31.2
%
P = 1-\frac{1}{100}-\frac{1}{99}-\dots-\frac{1}{51} = 31.2\%
P=1−1001−991−⋯−511=31.2%文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-438864.html
拓展到2n个囚犯
即使拓展到2n个囚犯，也是采取相同的策略，则成功概率为
P
=
1
−
1
2
n
−
1
2
n
−
1
−
⋯
−
1
n
+
1
P = 1-\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n-1}-\dots-\frac{1}{n+1}
P=1−2n1−2n−11−⋯−n+11
根据调和级数的欧拉和
∑
n
=
1
k
1
n
=
ln
k
+
γ
+
ϵ
k
\sum_{n=1}^k\frac{1}{n} = \ln k + \gamma +\epsilon_k
n=1∑kn1=lnk+γ+ϵk
其中是
γ
\gamma
γ欧拉-马歇罗尼常数，而
ϵ
k
\epsilon_k
ϵk约等于
1
2
k
\frac{1}{2k}
2k1，并且随着
k
k
k 趋于正无穷而趋于 0。这个结果由欧拉给出。
P
=
1
−
1
2
n
−
1
2
n
−
1
−
⋯
−
1
n
+
1
=
1
−
(
1
2
n
+
1
2
n
−
1
+
⋯
+
1
n
+
1
)
=
1
−
(
1
2
n
+
1
2
n
−
1
+
⋯
+
1
1
−
(
1
n
+
1
n
−
1
+
⋯
+
1
1
)
)
=
1
−
(
ln
2
n
−
ln
n
)
=
1
−
ln
2
=
30.68
%
\begin{aligned} P &= 1-\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n-1}-\dots-\frac{1}{n+1} \\ &=1 - (\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n-1}+\dots+\frac{1}{n+1}) \\ &=1 - (\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n-1}+\dots+\frac{1}{1} - (\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+\dots+\frac{1}{1})) \\ &=1 - (\ln 2n - \ln n) \\ &=1 - \ln2 = 30.68\% \end{aligned}
P=1−2n1−2n−11−⋯−n+11=1−(2n1+2n−11+⋯+n+11)=1−(2n1+2n−11+⋯+11−(n1+n−11+⋯+11))=1−(ln2n−lnn)=1−ln2=30.68%文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-438864.html
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