向量的点乘与叉乘概念理解以及C++代码实现-Toy模板网

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点乘与叉乘是线性代数的基本知识，在工作中也经常能够遇到，下面我们来温习一下它们的概念以及使用C++代码对它们进行实现。

1. 点乘

概念

向量的点乘，也叫点积、内积、数量积。是指在实数R上的两个向量的一种二元运算，这种运算返回一个实数值标量。点乘有两种定义方式：代数方式和几何方式。

代数方式

已知两个向量 $\overrightarrow{a} = [a_1, a_2,...,a_n]$ 和 $\overrightarrow{b} = [b_1, b_2,...,b_n]$ ，则向量 $\overrightarrow{a}$ 与向量 $\overrightarrow{b}$ 的内积代数定义为：
$a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$
代数表示：对应元素相乘相加。

几何定义(2维和3维)

已知两个向量 $\overrightarrow{a} = [x_1,y_1,z_1]$ 和 $\overrightarrow{b}=[x_2,y_2,z_2]$ ，它们的模值分别为 $∣ a ∣$ 和 $∣ b ∣$ ，它们的夹角为 $\theta \in \ [0,\pi]$ ，那么向量 $\overrightarrow{a}$ 与向量 $\overrightarrow{b}$ 的几何定义为：
$a\cdot b = |a||b|cos\theta$
几何意义：可以用来表示一个向量在另一个向量上的投影长度，为一个标量。

2. 叉乘

向量的叉乘，也叫叉积、外积、向量积，是一种在向量空间中(也就是说向量元素个数为3)向量的二元运算。与点积不同，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量，并且两个向量的叉积与这两个向量所构成的平面垂直。

定义方式

模值： $∣ a \times b ∣ =∣ a ∣∣ b ∣ s in θ$

模的几何意义：模 $∣ a \times b ∣$ , 即以a和b为两条边的平行四边形的面积

方向：两个向量的叉积与这两个向量所构成的平面垂直，且遵循右手准则（右手的四指从a以不超过180°的转角转向b时，竖起的大拇指指向是叉乘的方向。）

向量的点乘与叉乘概念理解以及C++代码实现

坐标运算

假设： $i 、 j 、 k$ 分别为XYZ三个轴的单位向量，则叉乘运算表示如下：

$\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} i& j& k\\ x_1& y_1& z_1 \\ x_2& y_2& z_2 \\ \end{vmatrix}=[y_1z_2-y_2z_1,-(x_1z_2-x_2z_1),x_1y_2-x_2y_1]$

特殊情况，如果a和b在平面XY上，那么Z=0，所以上面得到的值 $x_1y_2 - x_2y_1|$ ，方向朝Z轴。

3. 代码实现

根据对上面概念的理解，相信大家可以很快就能写出自己的点乘与叉乘函数操作，这里就不介绍了。在工作实际应用中，我们可能更多的使用Eigen对它们进行调用，Eigen可以很方便的实现点乘与叉乘操作，具体代码如下：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
 
using namespace Eigen;
using namespace std;
int main()
{
  Vector3d v(1,2,3);
  Vector3d w(0,1,2);
 
  cout << "Dot product: " << v.dot(w) << endl;//点乘
  double dp = v.adjoint()*w; //等同于点法
  cout << "Dot product via a matrix product: " << dp << endl;
  cout << "Cross product:\n" << v.cross(w) << endl;//叉乘
}