概率论专题-随机游动（复习笔记自用）-Toy模板网

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随机游动的基本模型：

直线上的一个质点，每经过一个单位时间，分别以概率p,q向右或向左移动一格，若该点在时刻0从原点出发，而且每次移动是相互独立的。

用随机变量描述质点的运动 (无限制随机游动的结果）

设n时刻质点向右移动k次，则必然向左移动了n-k次，于是质点的位置即S=2k-n

故S的概率分布为概率论专题-随机游动（复习笔记自用）

两端带有吸收壁的随机游动

假设在t=0的时刻，质点位于x=a,在x=0和x=a+b处各有一个吸收壁

记概率论专题-随机游动（复习笔记自用）为质点在n而最终在0被吸收的概率

显然可以看出的是概率论专题-随机游动（复习笔记自用）

通过全概率公式可以得到概率论专题-随机游动（复习笔记自用）通过整理可以得到递推公式通过边界条件求解差分方程最终可以得到

概率论专题-随机游动（复习笔记自用）而最终在a+b被吸收的概率为

其中当p=q=1/2时，该模型即为赌徒破产模型

其中质点位于a表示本金为a元，在a+b被吸收意味着再赢b元则停止赌博，p为赢的概率，在0处则代表破产,而此时破产的概率即为概率论专题-随机游动（复习笔记自用）这个结果直观的说明了在本金有限的情况下，贪心b越大，输光的概率就越大，如果一直赌下去，必定全部输光。

进一步了解赌徒破产模型

假设有n个赌徒，每个人的赌资为概率论专题-随机游动（复习笔记自用）则全部赌徒的赌资为则第i个赌徒输光的概率为,如果每个人的赌资有限，且人数足够多，则每个人破产的概率都接近于1。随着时间的推移，大部分人破产，赌资陆续向少数赌徒集中，这就是赌庄形成的过程。然后赌庄也会破产，继而形成新的赌庄。而非公平博弈则保证了赌庄的长盛不衰。