【证明】矩阵特征值之和等于主对角线元素之和-Toy模板网

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性质 1　设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A} = (a_{ij})$ 的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ ，则 $\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$ 。

证明　不妨设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式为
$f(\lambda) = |\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E}| = \begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} - \lambda \\ \end{vmatrix} = k_0 + k_1 \lambda + \cdots k_n \lambda^n \tag{1}$
因为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 是特征方程 $f(\lambda) = 0$ 的 $n$ 个解，所以上式 $(1)$ 可以写成
$f(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda)(\lambda_2 - \lambda) \cdots (\lambda_n - \lambda) \tag{2}$
根据韦达定理可知，上式 $(2)$ 中 $\lambda^{n-1}$ 的系数 $k_{n-1} = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$ 。

因为在行列式 $|\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E}|$ 中，除主对角线对应的项以外，其他项展开后关于 $\lambda$ 的最高项均小于等于 $n - 2$ 次；所以，若要得到 $\lambda^{n-1}$ 项，只能通过主对角线对应的项得到。主对角线对应的项为
$(a_{11} - \lambda) (a_{22} - \lambda) \cdots (a_{nn} - \lambda) \tag{3}$
因为上式 $(3)$ 中 $\lambda^{n-1}$ 的系数即式 $(1)$ 中 $\lambda^{n-1}$ 的系数 $k_{n-1}$ ，根据韦达定理，有 $k_{n-1} = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$ 。

综上所述，有
$\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = k_{n-1} = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$
得证。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-439617.html