2023蓝桥C/C++B组省赛
试题A: 日期统计
题目描述
【问题描述】
小蓝现在有一个长度为100 的数组,数组中的每个元素的值都在0 到9 的范围之内。数组中的元素从左至右如下所示:
5 6 8 6 9 1 6 1 2 4 9 1 9 8 2 3 6 4 7 7 5 9 5 0 3 8 7 5 8 1 5 8 6 1 8 3 0 3 7 9 2 7 0 5 8 8 5 7 0 9 9 1 9 4 4 6 8 6 3 3 8 5 1 6 3 4 6 7 0 7 8 2 7 6 8 9 5 6 5 6 1 4 0 1 0 0 9 4 8 0 9 1 2 8 5 0 2 5 3 3
现在他想要从这个数组中寻找一些满足以下条件的子序列:
-
子序列的长度为8;
-
这个子序列可以按照下标顺序组成一个yyyymmdd 格式的日期,并且
要求这个日期是2023 年中的某一天的日期,例如20230902,20231223。yyyy 表示年份,mm 表示月份,dd 表示天数,当月份或者天数的长度只有一位时需要一个前导零补充。
请你帮小蓝计算下按上述条件一共能找到多少个不同的2023 年的日期。
对于相同的日期你只需要统计一次即可。
枚举
用八重循环直接枚举每一位数字, 题目中的日期序列有很多限制, 如前四位必须是2023, 又比如月份只能以0或1开头等等。利用这些限制能大大降低运行时间, 实测只要限制了前四位, 基本是瞬间跑出结果。
注意需要用哈希表去重。
参考代码
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// Created by trudbot on 2023/4/9.
//
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int days[] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
set<int> res;
void check(int m, int d) {
if (m < 1 || m > 12 || d < 1 || d > days[m]) return;
res.insert(m * 100 + d);
}
int main () {
int ns[100];
for (int & n : ns) cin >> n;
for (int a = 0; a < 100; a ++) {
if (ns[a] != 2) continue;
for (int b = a + 1; b < 100; b ++) {
if (ns[b] != 0) continue;
for (int c = b + 1; c < 100; c ++) {
if (ns[c] != 2) continue;
for (int d = c + 1; d < 100; d ++) {
if (ns[d] != 3) continue;
for (int i = d + 1; i < 100; i ++)
for (int j = i + 1; j < 100; j ++)
for (int k = j + 1; k < 100; k ++)
for (int l = k + 1; l < 100; l ++)
check(ns[i] * 10 + ns[j], ns[k] * 10 + ns[l]);
}
}
}
}
cout << res.size() << endl;
return 0;
}
//in: 5 6 8 6 9 1 6 1 2 4 9 1 9 8 2 3 6 4 7 7 5 9 5 0 3 8 7 5 8 1 5 8 6 1 8 3 0 3 7 9 2
//7 0 5 8 8 5 7 0 9 9 1 9 4 4 6 8 6 3 3 8 5 1 6 3 4 6 7 0 7 8 2 7 6 8 9 5 6 5 6 1 4 0 1
//0 0 9 4 8 0 9 1 2 8 5 0 2 5 3 3
//out: 235
试题B: 01 串的熵
题目描述
对于一个长度为n 的01 串 S = x 1 x 2 x 3 . . . x n S = x_1x_2x_3...x_n S=x1x2x3...xn,香农信息熵的定义为 H ( S ) = − ∑ 1 n p ( x i ) log 2 ( p ( x i ) ) H(S ) = −\sum^n_1p(x_i) \log_2(p(x_i)) H(S)=−∑1np(xi)log2(p(xi)),其中 p ( 0 ) , p ( 1 ) p(0),p(1) p(0),p(1) 表示在这个01 串中0 和1 出现的占比。
比如,对于S = 100
来说,信息熵
H
(
S
)
=
−
1
3
log
2
(
1
3
)
−
2
3
log
2
(
2
3
)
−
2
3
log
2
(
2
3
)
=
1.3083
H(S ) = −\frac13 \log_2( \frac13 ) − \frac23 \log_2( \frac23 ) − \frac23 \log_2( \frac23 )=1.3083
H(S)=−31log2(31)−32log2(32)−32log2(32)=1.3083。对于一个长度为23333333
的01 串,如果其信息熵为11625907.5798
,且0 出现次数比1 少,那么这个01 串中0 出现了多少次?
枚举|模拟
设01字符串S
长度为n
, 0的个数为x
。
则 p ( 0 ) = x n , p ( 1 ) = n − x n p(0) = \frac xn, p(1) = \frac{n-x}{n} p(0)=nx,p(1)=nn−x.
H ( S ) = − ∑ 1 n p ( x i ) log 2 ( p ( x i ) ) = − ( x p ( 0 ) log 2 ( p ( 0 ) ) + ( n − x ) p ( 1 ) log 2 ( p ( 1 ) ) ) H(S ) =−\sum^n_1p(x_i) \log_2(p(x_i)) = -(xp(0)\log_2(p(0)) + (n-x)p(1)\log_2(p(1))) H(S)=−∑1np(xi)log2(p(xi))=−(xp(0)log2(p(0))+(n−x)p(1)log2(p(1)))
在已知n, x时, 计算H是 O ( 1 ) O(1) O(1)的, 所以只需要枚举x即可。
参考代码
//
// Created by trudbot on 2023/4/9.
//
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const ll H = 116259075798;
const ll N = 23333333;
bool check(ll x) {
double p0 = x * 1.0 / N, p1 = 1 - p0;
ll h = 10000ll * (x * p0 * log2(p0) + (N - x) * p1 * log2(p1));
return h + H == 0;
}
int main () {
for (int x = 1; x <= N / 2; x ++) {
if (check(x)) cout << x << endl;
}
return 0;
}
//out: 11027421
试题C: 冶炼金属
题意描述
小蓝有一个神奇的炉子用于将普通金属O 冶炼成为一种特殊金属X。这个炉子有一个称作转换率的属性V,V 是一个正整数,这意味着消耗V 个普通金属O 恰好可以冶炼出一个特殊金属X,当普通金属O 的数目不足V 时,无法继续冶炼。
现在给出了N 条冶炼记录,每条记录中包含两个整数A 和B,这表示本次投入了A 个普通金属O,最终冶炼出了B 个特殊金属X。每条记录都是独立的,这意味着上一次没消耗完的普通金属O 不会累加到下一次的冶炼当中。
根据这N 条冶炼记录,请你推测出转换率V 的最小值和最大值分别可能是多少,题目保证评测数据不存在无解的情况。
取交集
对于每一条记录, 都可以求出转换率V的一个取值范围。 V必须满足所有记录求出的取值范围, 所以只需要对N个区间求交集即可, 也就是右边界取所有右边界的最小值, 左边界取所有左边界的最大值。。
参考代码
//
// Created by trudbot on 2023/4/9.
//
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main () {
int n; cin >> n;
int mn = -1, mx = 1e9;
while (n --) {
int a, b; cin >> a >> b;
int l = a / (b + 1) + 1, r = a / b;
mn = max(mn, l), mx = min(mx, r);
}
cout << mn << " " << mx << endl;
return 0;
}
试题D: 飞机降落
题意描述
N 架飞机准备降落到某个只有一条跑道的机场。其中第i
架飞机在
T
i
T_i
Ti 时刻到达机场上空,到达时它的剩余油料还可以继续盘旋
D
i
D_i
Di 个单位时间,即它最早可以于
T
i
T_i
Ti 时刻开始降落,最晚可以于
T
i
+
D
i
T_i + D_i
Ti+Di 时刻开始降落。降落过程需要
L
i
L_i
Li
个单位时间。
一架飞机降落完毕时,另一架飞机可以立即在同一时刻开始降落,但是不能在前一架飞机完成降落前开始降落。
请你判断N 架飞机是否可以全部安全降落。
DFS+剪枝, 懒得写
试题E: 接龙数列
题意描述
对于一个长度为K 的整数数列: A 1 , A 2 . . A K A_1,A_2..A_K A1,A2..AK,我们称之为接龙数列当且仅当 A i A_i Ai 的首位数字恰好等于 A i − 1 A_{i−1} Ai−1 的末位数字(2 ≤ i ≤ K)。
例如 12 , 23 , 35 , 56 , 61 , 11 12,23,35,56,61,11 12,23,35,56,61,11 是接龙数列; 12 , 23 , 34 , 56 12,23,34,56 12,23,34,56 不是接龙数列,因为56的首位数字不等于34 的末位数字。所有长度为1 的整数数列都是接龙数列。
现在给定一个长度为N 的数列 A 1 , A 2 . . . A N A_1,A_2... A_N A1,A2...AN,请你计算最少从中删除多少个数,可以使剩下的序列是接龙序列?
DP
要求使得数列变成接龙数列的最少删除个数, 相当于求该数列的最长接龙子数列的长度, 用总长度减去最长接龙长度即为最少删除个数。
定义
d
p
[
i
]
[
j
]
dp[i][j]
dp[i][j]为前i
个数中, 以数字j
结尾的最长接龙数列的长度。
设第i
个数的首位数字是a, 末位数字是b。 则
d
p
[
i
]
dp[i]
dp[i]中相对于
d
p
[
i
−
1
]
dp[i-1]
dp[i−1]可能发生变化的只有
d
p
[
i
]
[
b
]
dp[i][b]
dp[i][b], 因为第i个数可能加到一个以a结尾的接龙数列中, 使得这个接龙数列长度加1并且结尾数字变成b
.
所以状态转移方程为dp[i][b] = max(dp[i - 1][b], dp[i - 1][a] + 1)
参考代码
//
// Created by trudbot on 2023/4/9.
//
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[10];
int main () {
int n, mx = 0; cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i ++) {
string s; cin >> s;
int a = s[0] - '0', b = s.back() - '0';
dp[b] = max(dp[b], dp[a] + 1), mx = max(mx, dp[b]);
}
cout << n - mx << endl;
return 0;
}
试题F: 岛屿个数
题意描述
小蓝得到了一副大小为M × N 的格子地图,可以将其视作一个只包含字符‘0’(代表海水)和‘1’(代表陆地)的二维数组,地图之外可以视作全部是海水,每个岛屿由在上/下/左/右四个方向上相邻的‘1’ 相连接而形成。
在岛屿A 所占据的格子中,如果可以从中选出k 个不同的格子,使得他们的坐标能够组成一个这样的排列:( x 0 , y 0 x_0, y_0 x0,y0),( x 1 , y 1 x_1,y_1 x1,y1)… ( x k − 1 , y k − 1 x_{k−1}, y_{k−1} xk−1,yk−1),其中( x ( i + 1 ) % k , y ( i + 1 ) % k x_{(i+1)}\%k,y_{(i+1)}\%k x(i+1)%k,y(i+1)%k) 是由( x i , y i x_i, y_i xi,yi) 通过上/下/左/右移动一次得来的(0 ≤ i ≤ k − 1),此时这k 个格子就构成了一个“环”。如果另一个岛屿B 所占据的格子全部位于这个“环” 内部,此时我们将岛屿B 视作是岛屿A 的子岛屿。若B 是A 的子岛屿,C 又是B 的子岛屿,那C 也是A 的子岛屿。
请问这个地图上共有多少个岛屿?在进行统计时不需要统计子岛屿的数目。
dfs | 连通块
本题有两种类型的顶点, 一种是’海水’, 如果A海顶点在B海顶点的周围8个格子内, 那两个海顶点就算连通的.
另一个是’陆地’, 只有A在B的上下左右四个方格内, 两个陆地才是连通的.
地图外的方格我们全部视为海, 与地图外的海连通的海都视为外海, 可以发现, 接触到了外海的岛屿, 就一定不是其它岛屿的子岛。
所以在地图周围一圈, 我们增加一圈0作为外海, dfs遍历外海每一个方格, 若与外海方格相邻的岛屿未被遍历过,那么这就是一个新的岛屿, 再用一个dfs去遍历这个岛。
参考代码
//
// Created by trudbot on 2023/4/9.
//
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 60;
int g[N][N], n, m, res = 0;
bool st[N][N];
int dx[] = {0, 0, 1, -1},
dy[] = {1, -1, 0, 0};
void dfs_1(int r, int c) {
st[r][c] = true;
//四向连通
for (int i = 0; i < 4; i ++) {
int x = dx[i] + r, y = dy[i] + c;
if (st[x][y] || g[x][y] == 0) continue;
dfs_1(x, y);
}
}
void dfs_0(int r, int c) {
st[r][c] = true;
//八向连通
for (int i = -1; i <= 1; i ++)
for (int j = -1; j <= 1; j ++) {
int x = r + i, y = c + j;
if (x < 0 || x > n + 1 || y < 0 || y > m + 1 || st[x][y]) continue;
if (g[x][y] == 0) dfs_0(x, y);
else dfs_1(x, y), res ++;
}
}
int main () {
int T; cin >> T;
while (T --) {
memset(g, 0, sizeof g);
memset(st, false, sizeof st);
cin >> n >> m; res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++)
for (int j = 1; j <= m; j ++) {
char c; cin >> c;
g[i][j] = c - '0';
}
dfs_0(0, 0);//从一个外海方格开始dfs
cout << res << endl;
}
return 0;
}
试题G: 子串简写
题意描述
程序猿圈子里正在流行一种很新的简写方法:对于一个字符串,只保留首尾字符,将首尾字符之间的所有字符用这部分的长度代替。例如internationalization简写成i18n,Kubernetes (注意连字符不是字符串的一部分)简
写成K8s, Lanqiao 简写成L5o 等。在本题中,我们规定长度大于等于K 的字符串都可以采用这种简写方法(长度小于K 的字符串不配使用这种简写)。
给定一个字符串S
和两个字符
c
1
c_1
c1 和
c
2
c_2
c2,请你计算S 有多少个以
c
1
c_1
c1 开头
c
2
c_2
c2 结尾的子串可以采用这种简写?
前缀和
设p[i]
为前i个字符中
c
1
c_1
c1字符的个数, 则对于下标为j
的
c
2
c_2
c2字符, 以其结尾且可以简写的子串数量即为p[j - k + 1]
参考代码
//
// Created by trudbot on 2023/4/9.
//
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 5e5 + 10;
ll p[N], res;
int main () {
int k; cin >> k;
string s; char a, b; cin >> s >> a >> b;
for (int i = 1; i <= s.size(); i ++) p[i] = p[i - 1] + (s[i - 1] == a);
for (int i = k; i <= s.size(); i ++)
if (s[i - 1] == b) res += p[i - k + 1];
cout << res << endl;
return 0;
}
试题H: 整数删除
题意描述
给定一个长度为N 的整数数列: A 1 , A 2 . . . A N A_1,A_2...A_N A1,A2...AN。
你要重复以下操作K 次:每次选择数列中最小的整数(如果最小值不止一个,选择最靠前的),将其删除。并把与它相邻的整数加上被删除的数值。
输出K 次操作后的序列。
双向链表 | 最小堆
由于要进行大量的删除操作, 不难想到可以使用链表.
而本题需要动态的求最小值, 显然可以使用堆.
每次从堆中取出最小值的下标, 然后在链表中删除它.
但本题特殊点在于将其删除。并把与它相邻的整数加上被删除的数值
, 所以会导致还在堆中的元素的权的变化.
我们可以注意到, 每次删除操作只会让一些元素变大, 而不会让元素变小. 也就是, 可能会让原本的最小值变成不是最小值.
因此我们取出堆中的最小值时, 需要将此元素的排序权和实际的值进行对比, 如果实际的值变大了, 则当前元素并不一定是最小值, 需要重新放回堆中.
参考代码
每次删除操作最多会让两个元素的值变化, 因此从堆中取出的次数是k的线性, 时间复杂度为 O ( n + k ) log n O(n + k) \log n O(n+k)logn
//
// Created by trudbot on 2023/4/9.
//
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 5e5 + 10;
ll v[N], l[N], r[N];
void del(int x) {
r[l[x]] = r[x], l[r[x]] = l[x];
v[l[x]] += v[x], v[r[x]] += v[x];
}
int main () {
int n, k; cin >> n >> k;
r[0] = 1, l[n + 1] = n;
priority_queue<pair<ll, int>, vector<pair<ll, int>>, greater<pair<ll, int>>> h;
for (int i = 1; i <= n; i ++)
cin >> v[i], l[i] = i - 1, r[i] = i + 1, h.push({v[i], i});
while (k --) {
auto p = h.top(); h.pop();
if (p.first != v[p.second]) h.push({v[p.second], p.second}), k ++;
else del(p.second);
}
int head = r[0];
while (head != n + 1) {
cout << v[head]<< " ";
head = r[head];
}
return 0;
}
试题I: 景区导游
题意描述
某景区一共有N 个景点,编号1 到N。景点之间共有N − 1 条双向的摆渡车线路相连,形成一棵树状结构。在景点之间往返只能通过这些摆渡车进行,需要花费一定的时间。
小明是这个景区的资深导游,他每天都要按固定顺序带客人游览其中K 个景点:A1; A2; : : : ; AK。今天由于时间原因,小明决定跳过其中一个景点,只带游客按顺序游览其中K − 1 个景点。具体来说,如果小明选择跳过Ai,那么他会按顺序带游客游览 A 1 , A 2 . . . A i − 1 , A i + 1 , A K A_1,A_2... A_{i−1},A_{i+1},A_K A1,A2...Ai−1,Ai+1,AK (1 ≤ i ≤ K)。请你对任意一个Ai,计算如果跳过这个景点,小明需要花费多少时间在景点之间的摆渡车上?
带权LCA
要确定的一点是, 由于题中的图是一棵树, 所以对于任意两个顶点, 它们的最短路径就是它们的简单路径。
求树中两个结点的最短路径, 可以想到LCA。
设 d i s t [ u ] dist[u] dist[u]为u顶点到根结点的距离, 那么u和v的距离即为 d i s t [ u ] + d i s t [ v ] − 2 ∗ d i s t [ l c a ( u , v ) ] dist[u] + dist[v] - 2 * dist[lca(u, v)] dist[u]+dist[v]−2∗dist[lca(u,v)].
因此本题就是一道LCA的模板题, 使用倍增或者tarjan都是可以的, 具体的算法知识请自行去学习。
距离可能会爆int, 因此建议是所有整型都用long long, 避免麻烦。
参考代码
//
// Created by trudbot on 2023/4/10.
//
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
using ll = long long;
vector<pair<int, int>> g[N];
ll dep[N], f[N][30], dist[N];
void dfs(int u, int fa, ll d) {
dep[u] = dep[fa] + 1, dist[u] = d, f[u][0] = fa;
for (int i = 1; (1 << i) <= dep[u]; i ++) f[u][i] = f[f[u][i - 1]][i - 1];
for (auto &p : g[u]) {
if (p.first == fa) continue;
dfs(p.first, u, d + p.second);
}
}
int lca(int a, int b) {
if (dep[a] < dep[b]) swap(a, b);
for (int i = 20; i >= 0; i --) {
if (dep[f[a][i]] >= dep[b]) a = f[a][i];
if (a == b) return a;
}
for (int i = 20; i >= 0; i --) {
if (f[a][i] != f[b][i]) a = f[a][i], b = f[b][i];
}
return f[a][0];
}
ll get(int a, int b) {
return dist[a] + dist[b] - 2 * dist[lca(a, b)];
}
int main () {
int n, k; cin >> n >> k;
for (int i = 1; i < n; i ++) {
int u, v, t; cin >> u >> v >> t;
g[u].push_back({v, t}), g[v].push_back({u, t});
}
vector<int> a(k);
for (auto &x : a) cin >> x;
dfs(1, 0, 0);
ll sum = 0;
for (int i = 1; i < k; i ++) sum += get(a[i - 1], a[i]);
for (int i = 0; i < k; i ++) {
ll ans = sum;
if (i != 0) ans -= get(a[i], a[i - 1]);
if (i != k - 1) ans -= get(a[i], a[i + 1]);
if (i != 0 && i != k - 1) ans += get(a[i - 1], a[i + 1]);
cout << ans << " ";
}
return 0;
}
试题J: 砍树
题意描述
给定一棵由n 个结点组成的树以及m 个不重复的无序数对
(
a
1
,
b
1
)
,
(
a
2
,
b
2
)
,
.
.
.
,
(
a
m
,
b
m
)
(a_1,b_1), (a_2,b_2),...,(a_m,b_m)
(a1,b1),(a2,b2),...,(am,bm),其中
a
i
a_i
ai 互不相同,
b
i
b_i
bi 互不相同,
a
i
≠
b
j
a_i \neq b_j
ai=bj(1 ≤ i, j ≤ m)。
小明想知道是否能够选择一条树上的边砍断,使得对于每个
(
a
i
,
b
i
)
(a_i,b_i)
(ai,bi) 满足
a
i
a_i
ai和
b
i
b_i
bi 不连通,如果可以则输出应该断掉的边的编号(编号按输入顺序从1 开始),否则输出-1。
树上差分
同上题我们知道, 树中两个结点的简单路径是唯一的。
因此如果我们能找到一条边, 每组数对的两个结点的简单路径都要经过这条边, 那么就可以满足题意。
这时我们可以很简单的想到思路, 对于数对 ( a , b ) (a, b) (a,b), 我们遍历a到b路径上的每一条边, 让其权值加一。
最后若存在权值为m的边, 那么就满足题意。
但这样做时间复杂度显然最坏是 O ( n m ) O(nm) O(nm), 不达标。文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-439738.html
这时候我们可以用到树上差分优化这一过程, 同理这里不会赘述它是什么, 请自行去学习相关知识。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-439738.html
参考代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = 18;
vector<pair<int, int>> g[N];
int dep[N], f[N][20], cnt[N], w[N];
void init(int u, int fa) {
dep[u] = dep[fa] + 1, f[u][0] = fa;
for (int i = 1; (1 << i) <= dep[u]; i ++) f[u][i] = f[f[u][i - 1]][i - 1];
for (auto &e : g[u]) {
if (e.first != fa) init(e.first, u), w[e.first] = e.second;
}
}
int lca(int a, int b) {
if (dep[a] < dep[b]) swap(a, b);
for (int i = M; i >= 0; i --) {
if (dep[f[a][i]] >= dep[b]) a = f[a][i];
if (a == b) return a;
}
for (int i = M; i >= 0; i --) {
if (f[a][i] != f[b][i]) a = f[a][i], b = f[b][i];
}
return f[a][0];
}
void add(int a, int b) {
int LCA = lca(a, b);
cnt[a] ++, cnt[b] ++, cnt[LCA] -= 2;
}
void dfs(int u, int fa) {
for (auto &e : g[u]) {
if (e.first != fa)
dfs(e.first, u), cnt[u] += cnt[e.first];
}
}
int main () {
int n, m; cin >> n >> m;
for (int i = 1; i < n; i ++) {
int a, b; cin >> a >> b;
g[a].push_back({b, i}), g[b].push_back({a, i});
}
init(1, 0);
for (int i = 0; i < m; i ++) {
int a, b; cin >> a >> b;
add(a, b);
}
dfs(1, 0);
int res = -1;
for (int i = 1; i <= n; i ++)
if (cnt[i] == m && (w[i] > res)) res = w[i];
cout << res << endl;
return 0;
}
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